Phương trình đường thẳng trong không gian
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh viết được phương trình tham số của đường thẳng trong không gian.
- Học sinh xác định được vectơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng từ phương trình.
Khám phá
Mai đứng tại một điểm trong không gian rồi đi theo một hướng cố định. Mỗi giá trị thời gian tương ứng với một vị trí. Trong hình học tọa độ, ta mô tả điều đó bằng một điểm xuất phát, một vectơ chỉ phương và một tham số.
Quan sát mô phỏng: kéo điểm B để thay đổi hướng; chú ý đoạn AB biểu diễn hướng của đường thẳng trong hình chiếu.
Kiến thức trọng tâm
Đường thẳng đi qua điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)\ne\vec{0}$ có phương trình tham số:
$$\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\quad (t\in\mathbb{R}).$$
Vì sao công thức đúng? Khi thay đổi $t$, ta đi một số lần có hướng của vectơ $\vec{u}$ kể từ $M$. Do đó mọi điểm thu được đều nằm trên đường thẳng có hướng ấy, và mọi điểm trên đường thẳng đều ứng với một giá trị thích hợp của $t$.
Từ phương trình tham số, đọc được ngay điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ khi $t=0$ và vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$. Nếu $a,b,c$ đều khác $0$, có thể viết dạng chính tắc:
$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.$$
Nếu một thành phần bằng $0$, tọa độ tương ứng giữ nguyên. Không chia cho thành phần bằng $0$.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số
Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(1;2;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;3)$.
Thay tọa độ điểm $A$ vào $(x_0;y_0;z_0)$.
Thay các thành phần của $\vec{u}$ vào $(a;b;c)$.
Vậy phương trình đường thẳng là $$\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=-1+3t\end{cases}\quad (t\in\mathbb{R}).$$
Ví dụ 2: Đọc điểm và vectơ chỉ phương
Cho đường thẳng $d:\begin{cases}x=4-t\\y=-2+5t\\z=3+2t\end{cases}$.
Đặt $t=0$, ta được điểm $M(4;-2;3)$ thuộc $d$.
Các hệ số của $t$ lần lượt là $-1$, $5$, $2$, nên một vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(-1;5;2)$.
Kiểm tra nhanh: với $t=1$, điểm $(3;3;5)$ cũng thuộc đường thẳng.
Ví dụ 3: Chuyển sang dạng chính tắc
Viết dạng chính tắc của $d:\begin{cases}x=2+3t\\y=1-2t\\z=4+t\end{cases}$.
Đường thẳng đi qua $M(2;1;4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;-2;1)$.
Cả ba thành phần của vectơ chỉ phương đều khác $0$, nên áp dụng dạng chính tắc:
$$\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-4}{1}.$$
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
Lỗi: Nhầm tọa độ điểm với các hệ số của tham số. Mẹo: Số hạng không chứa $t$ cho điểm; hệ số đứng trước $t$ cho vectơ chỉ phương.
Lỗi: Chia cho thành phần bằng $0$ khi viết dạng chính tắc. Hãy giữ tọa độ tương ứng dưới dạng phương trình cố định, chẳng hạn $y=y_0$.
Mẹo: Vectơ chỉ phương có thể nhân với một số khác $0$ mà vẫn chỉ cùng một hướng đường thẳng.
Tự kiểm tra nhanh
Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $P(0;2;1)$, có vectơ chỉ phương $(1;3;-2)$.
Với $d:\begin{cases}x=5+2t\\y=-1\\z=3-t\end{cases}$, hãy nêu một điểm thuộc $d$ và một vectơ chỉ phương.
Đường thẳng qua $Q(1;0;2)$ có vectơ chỉ phương $(2;0;-1)$. Viết phương trình tham số và nêu tọa độ nào không đổi.
Đáp án — hãy tự làm trước khi xem: Câu 1: $\begin{cases}x=t\\y=2+3t\\z=1-2t\end{cases}$. Câu 2: Có thể chọn điểm $(5;-1;3)$ và vectơ chỉ phương $(2;0;-1)$. Câu 3: $\begin{cases}x=1+2t\\y=0\\z=2-t\end{cases}$; tọa độ $y$ không đổi.