Quy tắc tính đạo hàm

Khám phá

Một cửa hàng làm hộp quà có chi phí phụ thuộc vào số hộp được sản xuất. Nếu công thức chi phí gồm nhiều phép cộng, nhân hoặc một biểu thức lồng bên trong lũy thừa, ta cần quy tắc đạo hàm phù hợp cho từng phần.

Điểm mấu chốt là nhận ra cấu trúc của biểu thức trước khi tính. Ta sẽ luyện từ phép cộng, phép nhân đến hàm hợp.

Kiến thức trọng tâm

Với các hàm số có đạo hàm, ta dùng các quy tắc sau:

Tổng, hiệu: $(u+v)'=u'+v'$, $(u-v)'=u'-v'$.
Nhân với hằng số: $(ku)'=ku'$. Đặc biệt, $(c)'=0$ và $(x^n)'=nx^{n-1}$.
Tích: $(uv)'=u'v+uv'$. Mỗi lần lấy đạo hàm, đạo hàm một thừa số và giữ nguyên thừa số còn lại, rồi cộng hai kết quả.
Thương: $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, với $v\ne 0$.
Hàm hợp: Nếu $y=f(g(x))$ thì $y'=f'(g(x))\cdot g'(x)$. Có thể nhớ là đạo hàm lớp ngoài rồi nhân với đạo hàm lớp trong.

Trong các công thức, $u$ và $v$ là những hàm số của $x$. Khi tính, hãy xác định dạng biểu thức, đặt rõ các thành phần rồi mới áp dụng quy tắc.

Mô phỏng: Đạo hàm của hàm hợp

Hãy kéo thanh trượt $a$ và quan sát đồ thị của $f(x)=(2x-1)^3$ cùng đồ thị đạo hàm; chú ý cách đạo hàm lớp trong $2x-1$ góp mặt trong kết quả.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Đạo hàm tổng và hiệu

Tính đạo hàm của $y=4x^3-3x^2+5x-7$.

Dùng quy tắc tổng, hiệu và đạo hàm từng hạng tử: $y'=4(x^3)'-3(x^2)'+5(x)'-0$.
Áp dụng $(x^n)'=nx^{n-1}$: $y'=4\cdot 3x^2-3\cdot 2x+5$.
Rút gọn: $y'=12x^2-6x+5$.

Vì sao? Đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm, nên ta có thể xử lí từng hạng tử riêng.

Ví dụ 2: Đạo hàm tích và thương

a) Tính đạo hàm của $y=(x^2+1)(3x-2)$.

Đặt $u=x^2+1$, $v=3x-2$. Khi đó $u'=2x$, $v'=3$.
Dùng quy tắc tích: $y'=u'v+uv'=2x(3x-2)+3(x^2+1)$.
Thu gọn: $y'=9x^2-4x+3$.

b) Tính đạo hàm của $z=\frac{x+1}{x^2+1}$.

Đặt $u=x+1$, $v=x^2+1$. Khi đó $u'=1$, $v'=2x$; mẫu số luôn dương.
Dùng quy tắc thương: $z'=\frac{1\cdot(x^2+1)-(x+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$.
Thu gọn tử số: $z'=\frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}$.

Ví dụ 3: Đạo hàm hàm hợp

Tính đạo hàm của $y=(2x^2-3x+1)^4$.

Nhận ra lớp ngoài là lũy thừa bậc $4$, lớp trong là $2x^2-3x+1$.
Đạo hàm lớp ngoài rồi nhân đạo hàm lớp trong: $y'=4(2x^2-3x+1)^3(2x^2-3x+1)'$.
Tính đạo hàm lớp trong: $(2x^2-3x+1)'=4x-3$.
Vậy $y'=4(2x^2-3x+1)^3(4x-3)$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

Lỗi: Viết $(uv)'=u'v'$. Sửa: Quy tắc tích là $u'v+uv'$.
Lỗi: Quên bình phương mẫu trong quy tắc thương. Hãy kiểm tra mẫu của kết quả là $v^2$.
Lỗi: Với hàm hợp, chỉ đạo hàm lớp ngoài. Hãy nhân thêm đạo hàm của biểu thức bên trong.
Mẹo: Gạch chân các lớp của biểu thức; với tích hoặc thương, đặt tên tử, mẫu hay từng thừa số trước khi tính.

Tự kiểm tra nhanh

Thử làm trước khi xem đáp án ở cuối bài.

Tính đạo hàm của $f(x)=5x^4-2x+3$.
Tính đạo hàm của $g(x)=(x-2)(x+3)$.
Tính đạo hàm của $h(x)=(3x+1)^2$.

Đáp án tự kiểm tra

Chỉ xem sau khi đã tự làm: $f'(x)=20x^3-2$; $g'(x)=2x+1$; $h'(x)=6(3x+1)$.