Tổng Riemann và ý nghĩa của tích phân

Khám phá: Ước lượng lượng nước trong một bồn

Một cảm biến ghi lại lưu lượng nước vào bồn theo thời gian. Muốn ước lượng tổng lượng nước trong một khoảng thời gian, ta có thể chia thời gian thành những khoảng nhỏ. Trong mỗi khoảng, xem lưu lượng gần như không đổi, rồi cộng lượng nước ước tính của từng khoảng.

Cách làm này giống như chia miền dưới đồ thị thành các hình chữ nhật. Chia càng nhỏ thì các hình chữ nhật càng bám sát đồ thị. Điều gì xảy ra với tổng diện tích khi số hình chữ nhật tăng lên?

Kiến thức trọng tâm

Kéo các cận để quan sát tổng Riemann tiến tới tích phân; hãy chú ý phần diện tích dưới trục hoành được tính với dấu âm.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Lập tổng Riemann cho hàm hằng

Xét $f(x)=2$ trên đoạn $[0;3]$. Chia đoạn thành $3$ khoảng bằng nhau và chọn điểm phải. Lập tổng Riemann.

1. Độ dài mỗi khoảng là $\Delta x=\frac{3-0}{3}=1$.
2. Các điểm phải là $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=3$. Tại mỗi điểm, giá trị hàm số bằng $2$.
3. Tổng Riemann là $2\cdot1+2\cdot1+2\cdot1=6$.

Ở đây, các hình chữ nhật ghép thành hình chữ nhật có chiều cao $2$ và chiều rộng $3$. Vì thế tổng cho đúng diện tích, bằng $6$.

Ví dụ 2: Từ tổng Riemann đến tích phân

Dùng điểm phải để lập tổng Riemann cho $f(x)=x$ trên $[0;2]$, rồi tìm giới hạn khi số khoảng tăng vô hạn.

1. Chia đoạn thành $n$ khoảng bằng nhau. Khi đó $\Delta x=\frac{2}{n}$ và điểm phải thứ $i$ là $x_i=\frac{2i}{n}$.
2. Tổng Riemann là $$R_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{2i}{n}\cdot\frac{2}{n}=\frac{4}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i.$$
3. Dùng công thức $\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$, ta được $R_n=\frac{2(n+1)}{n}$.
4. Cho $n$ tăng vô hạn: $$\lim_{n\to\infty}R_n=2.$$

Do đó, $\int_0^2 x\,dx=2$. Các hình chữ nhật xấp xỉ miền tam giác dưới đường thẳng $y=x$; khi chia ngày càng mịn, tổng tiến tới diện tích thật.

Ví dụ 3: Tích phân có thể bằng không dù đồ thị không nằm trên trục hoành

Xét $f(x)=x-1$ trên $[0;2]$. Dùng điểm phải và chia đoạn thành $n$ khoảng bằng nhau.

1. Ta có $\Delta x=\frac{2}{n}$ và $x_i=\frac{2i}{n}$.
2. Tổng Riemann là $$R_n=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{2i}{n}-1\right)\frac{2}{n}=\frac{2}{n}.$$
3. Vì $\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}=0$, suy ra $\int_0^2(x-1)\,dx=0$.

Phần đồ thị nằm dưới trục hoành và phần nằm trên trục hoành có diện tích bằng nhau nhưng mang dấu trái ngược. Hai phần triệt tiêu nhau, nên tích phân bằng $0$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Nhầm chiều cao và độ rộng: mỗi hình chữ nhật có diện tích bằng giá trị hàm tại điểm chọn nhân với $\Delta x$.
• Quên điểm lấy mẫu: khi đề yêu cầu điểm phải, phải dùng $x_i$, không dùng $x_{i-1}$.
• Đồng nhất tích phân với diện tích hình học: tích phân là diện tích có hướng; miền dưới trục hoành đóng góp số âm.
• Mẹo nhớ: chia đoạn, chọn điểm, lập tổng, rồi cho độ rộng mỗi khoảng tiến về $0$.

Tự kiểm tra nhanh

1. Chia $[0;4]$ thành $4$ khoảng bằng nhau. Độ rộng mỗi khoảng là bao nhiêu?
2. Với $f(x)=3$ trên $[0;2]$, tổng Riemann dùng điểm phải khi chia thành $2$ khoảng bằng nhau bằng bao nhiêu?
3. Nếu phần đồ thị nằm dưới trục hoành có diện tích bằng phần nằm trên trục hoành, tích phân trên đoạn đó bằng bao nhiêu?