Ước lượng căn bậc hai

Khám phá

Nhóm của An thiết kế một tấm bảng hình vuông có diện tích $34\text{ m}^2$. Cạnh bảng dài bao nhiêu mét? Nếu cạnh dài $5\text{ m}$ thì diện tích là $25\text{ m}^2$; nếu dài $6\text{ m}$ thì diện tích là $36\text{ m}^2$. Vì $25<34<36$, cạnh bảng dài hơn $5\text{ m}$ nhưng ngắn hơn $6\text{ m}$. Ta có thể tìm gần đúng hơn bằng cách so sánh các bình phương.

Mô phỏng: Định vị căn bậc hai

Hãy thay đổi $N$ và thử các giá trị $a$, $b$, $m$. Quan sát vị trí giao nhau của hai đồ thị, rồi kiểm tra bình phương của các giá trị đó để tìm khoảng chứa $\sqrt{N}$ và quyết định cách làm tròn.

Kiến thức trọng tâm

Bước 1: Kiểm tra số chính phương. Nếu $N$ là số chính phương, tức là có một số nguyên không âm $k$ sao cho $k^2=N$, thì $\sqrt{N}=k$. Khi đó ta có căn chính xác, không cần ước lượng.

Bước 2: Tìm khoảng chứa căn. Nếu $N$ không phải số chính phương, hãy tìm hai số không âm $a$ và $b$ sao cho $$a^2$

Bước 3: Thu hẹp khoảng. Thử bình phương các số thập phân nằm giữa $a$ và $b$. Chẳng hạn, nếu $$x^2$

Bước 4: Làm tròn. Xác định hai giá trị làm tròn liền kề và tìm mốc chính giữa chúng. So sánh bình phương mốc giữa với $N$: nếu bình phương nhỏ hơn $N$ thì căn lớn hơn mốc; nếu lớn hơn $N$ thì căn nhỏ hơn mốc. Theo quy ước làm tròn thông thường, nếu căn đúng bằng mốc giữa thì làm tròn lên. Vì vậy, nếu bình phương mốc giữa bằng $N$, ta chọn giá trị làm tròn lớn hơn.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Ước lượng và làm tròn đến hàng đơn vị

Ước lượng $\sqrt{34}$ rồi làm tròn đến số nguyên gần nhất.

Kiểm tra các số chính phương gần $34$: $5^2=25$ và $6^2=36$. Vì $25<34<36$, ta có $5<\sqrt{34}<6$.
Mốc giữa $5$ và $6$ là $5{,}5$. Ta tính $5{,}5^2=30{,}25<34$, nên $\sqrt{34}>5{,}5$.
Vậy $\sqrt{34}$ làm tròn đến hàng đơn vị là $6$.

Ví dụ 2: Ước lượng và làm tròn đến hàng phần mười

Ước lượng $\sqrt{7}$ rồi làm tròn đến hàng phần mười.

Ta có $2{,}6^2=6{,}76$ và $2{,}7^2=7{,}29$. Vì $6{,}76<7<7{,}29$, suy ra $2{,}6<\sqrt{7}<2{,}7$.
Mốc giữa $2{,}6$ và $2{,}7$ là $2{,}65$. Ta có $2{,}65^2=7{,}0225>7$, nên $\sqrt{7}<2{,}65$.
Vậy $\sqrt{7}$ làm tròn đến hàng phần mười là $2{,}6$.

Ví dụ 3: Ước lượng và làm tròn đến hàng phần trăm

Ước lượng $\sqrt{11}$ rồi làm tròn đến hàng phần trăm.

Ta có $3{,}31^2=10{,}9561$ và $3{,}32^2=11{,}0224$. Vì $10{,}9561<11<11{,}0224$, suy ra $3{,}31<\sqrt{11}<3{,}32$.
Mốc giữa hai số này là $3{,}315$. Ta có $3{,}315^2=10{,}989225<11$, nên $\sqrt{11}>3{,}315$.
Vậy $\sqrt{11}$ làm tròn đến hàng phần trăm là $3{,}32$.

Lỗi hay gặp và mẹo nhớ

Lỗi hay gặp: Dùng $$a^2$
Lỗi hay gặp: Chỉ nhìn căn nằm giữa hai số nào mà chưa kiểm tra mốc giữa khi làm tròn. Muốn làm tròn, phải so sánh với mốc giữa.
Mẹo nhớ: Bình phương hai đầu mút để tìm khoảng; bình phương mốc giữa để làm tròn. Nhớ quy ước: đúng mốc giữa thì làm tròn lên.

Tự kiểm tra nhanh

$\sqrt{20}$ nằm giữa hai số nguyên liên tiếp nào?
Ước lượng $\sqrt{7}$ đến hàng phần mười.
Làm tròn $\sqrt{50}$ đến hàng đơn vị.

Đáp án — hãy tự làm trước khi xem:

Vì $4^2=16<20<25=5^2$, nên $4<\sqrt{20}<5$.
Vì $2{,}6^2=6{,}76<7<7{,}29=2{,}7^2$, và $2{,}65^2=7{,}0225>7$, nên $\sqrt{7}$ làm tròn đến hàng phần mười là $2{,}6$.
Ta có $7^2=49<50<64=8^2$. Mốc giữa là $7{,}5$ và $7{,}5^2=56{,}25>50$, nên $\sqrt{50}$ làm tròn đến hàng đơn vị là $7$.