Tần suất và xác suất thực nghiệm

Khám phá

Trong câu lạc bộ Toán, hai nhóm cùng gieo một con xúc xắc và ghi lại số lần xuất hiện mặt có số chấm chẵn. Kết quả của hai nhóm có thể giống nhau không? Nếu số lần gieo khác nhau, ta so sánh kết quả thế nào cho công bằng?

Hãy thử gieo xúc xắc nhiều lần, ghi lại kết quả và quan sát số lần biến cố xảy ra so với tổng số lần thử.

Thao tác: gieo xúc xắc nhiều lần, chọn biến cố cần theo dõi và so sánh kết quả khi số lần gieo thay đổi.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Tính xác suất thực nghiệm

Minh gieo xúc xắc $24$ lần. Mặt có $6$ chấm xuất hiện $5$ lần. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “xuất hiện mặt $6$ chấm”.

1. Số lần biến cố xảy ra là $m=5$; tổng số lần thử là $n=24$.
2. Thay vào công thức: $P_{24}(A)=\frac{5}{24}$.
3. Đổi gần đúng: $\frac{5}{24}\approx 0{,}208$, tức khoảng $20{,}8\%$.

Vậy xác suất thực nghiệm của biến cố là $\frac{5}{24}$, hay khoảng $20{,}8\%$.

Ví dụ 2: So sánh hai nhóm

Hai nhóm gieo xúc xắc và theo dõi biến cố “xuất hiện số chấm chẵn”. Nhóm A gieo $30$ lần, biến cố xảy ra $17$ lần. Nhóm B gieo $50$ lần, biến cố xảy ra $29$ lần. Nhóm nào có xác suất thực nghiệm lớn hơn?

1. Nhóm A có xác suất thực nghiệm $\frac{17}{30}\approx 0{,}567$.
2. Nhóm B có xác suất thực nghiệm $\frac{29}{50}=0{,}58$.
3. Vì $0{,}58>0{,}567$, xác suất thực nghiệm của nhóm B lớn hơn trong lần thử này.

Đây là so sánh kết quả ghi nhận được, không có nghĩa là biến cố chắc chắn dễ xảy ra hơn trong mọi lần gieo của nhóm B.

Ví dụ 3: Số lần thử thay đổi

Một bạn gieo xúc xắc và theo dõi biến cố “xuất hiện số chấm chẵn”. Sau $10$ lần gieo, biến cố xảy ra $7$ lần. Sau khi gieo đủ $40$ lần, biến cố xảy ra tổng cộng $21$ lần. Tính và so sánh hai xác suất thực nghiệm.

1. Sau $10$ lần gieo: $P_{10}(A)=\frac{7}{10}=0{,}7$.
2. Sau $40$ lần gieo: $P_{40}(A)=\frac{21}{40}=0{,}525$.
3. Kết quả đã thay đổi từ $0{,}7$ xuống $0{,}525$ khi có thêm lần thử. Điều này cho thấy xác suất thực nghiệm có thể dao động.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Lấy số lần biến cố xảy ra chia cho một số khác thay vì tổng số lần thử. Mẹo: Mẫu số luôn là số lần thử tất cả.
• Lỗi: Nghĩ rằng xác suất thực nghiệm chính là xác suất lí thuyết. Đây là kết quả tính từ dữ liệu đã thu được nên có thể thay đổi giữa các nhóm.
• Mẹo nhớ: “Số lần xảy ra chia tổng số lần thử” — nhớ đúng tử số và mẫu số là tính được.

Tự kiểm tra nhanh

1. Một bạn ném bóng vào rổ $20$ lần và ném trúng $13$ lần. Xác suất thực nghiệm của biến cố “ném trúng” là bao nhiêu?
2. Nhóm X gieo xúc xắc $20$ lần, thấy mặt $1$ chấm xuất hiện $4$ lần. Nhóm Y gieo $40$ lần, thấy mặt $1$ chấm xuất hiện $10$ lần. Nhóm nào có xác suất thực nghiệm lớn hơn?