Điều kiện xác định của căn thức bậc hai

Khám phá

Lan làm một tấm biển trang trí hình vuông có diện tích là $x+1$ mét vuông. Muốn tính độ dài cạnh, Lan viết $\sqrt{x+1}$ mét. Nhưng không phải cứ chọn số nào cho $x$ thì biểu thức này cũng có nghĩa trong tập số thực. Theo em, cần chọn $x$ thế nào để diện tích không âm?

Hãy kéo điểm $x$ trên trục số và quan sát đoạn giá trị được tô: đó là những giá trị làm biểu thức dưới căn không âm.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Căn thức với biểu thức đơn giản

Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{2x+6}$.

1. Biểu thức dưới căn phải không âm: $2x+6 \ge 0$.
2. Trừ $6$ ở hai vế: $2x \ge -6$.
3. Chia hai vế cho $2$, giữ nguyên chiều bất đẳng thức: $x \ge -3$.

Kết luận: Căn thức xác định khi $x \ge -3$.

Ví dụ 2: Hệ số của biến âm

Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{8-2x}$.

1. Đặt biểu thức dưới căn lớn hơn hoặc bằng $0$: $8-2x \ge 0$.
2. Chuyển vế: $-2x \ge -8$.
3. Chia hai vế cho $-2$. Vì chia cho số âm nên đổi chiều bất đẳng thức: $x \le 4$.

Kết luận: Căn thức xác định khi $x \le 4$.

Ví dụ 3: Có biến ở hai phía

Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{5x-1}$.

1. Điều kiện là $5x-1 \ge 0$.
2. Cộng $1$ ở hai vế: $5x \ge 1$.
3. Chia hai vế cho $5$: $x \ge \frac{1}{5}$.

Kết luận: Căn thức xác định khi $x \ge \frac{1}{5}$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Cho rằng biểu thức dưới căn phải lớn hơn $0$. Thực ra, biểu thức đó có thể bằng $0$.
• Lỗi: Chia bất phương trình cho một số âm mà quên đổi chiều. Chẳng hạn, từ $-2x \ge -8$ phải suy ra $x \le 4$.
• Mẹo nhớ: Thấy dấu căn bậc hai, hãy viết ngay “biểu thức dưới căn $\ge 0$”, rồi giải bất phương trình.

Tự kiểm tra nhanh

1. Căn thức $\sqrt{x-7}$ xác định với những giá trị nào của $x$?
2. Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{12-3x}$.
3. Căn thức $\sqrt{4x+1}$ có xác định khi $x=-\frac{1}{4}$ không?