Giải hệ phương trình bằng đồ thị

Khám phá

Lan và Minh cùng ghi lại số cây xanh và số chậu hoa cần chuẩn bị cho một góc lớp. Mỗi cách chọn số lượng cây và chậu có thể được biểu diễn bằng một điểm trên mặt phẳng tọa độ. Khi một cách chọn thỏa mãn đồng thời hai yêu cầu, điểm đó thuộc cả hai đường biểu diễn.

Vậy nếu hai đường biểu diễn gặp nhau, điểm gặp nhau cho ta điều gì? Hãy cùng tìm hiểu.

Kiến thức trọng tâm

Với phương trình bậc nhất hai ẩn dạng $ax+by=c$, trong đó $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$, mỗi nghiệm là một cặp số $(x;y)$ thỏa mãn phương trình. Tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của phương trình tạo thành một đường thẳng.

Để vẽ đường thẳng, ta tìm tọa độ của ít nhất hai điểm thuộc đường thẳng, chấm hai điểm đó trên mặt phẳng tọa độ rồi nối chúng.

Trong hệ gồm hai phương trình, nghiệm của hệ là cặp số thỏa mãn cả hai phương trình. Trên đồ thị, đó chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.

Hai đường thẳng cắt nhau: hệ có một nghiệm duy nhất.
Hai đường thẳng song song và phân biệt: hệ vô nghiệm.
Hai đường thẳng trùng nhau: hệ có vô số nghiệm.

Vì sao cách đọc này đúng? Một điểm nằm trên một đường thẳng khi tọa độ của nó thỏa mãn phương trình biểu diễn đường đó. Vì vậy, điểm nằm trên cả hai đường thẳng sẽ thỏa mãn cả hai phương trình.

Mô phỏng giao điểm

Hãy kéo thanh trượt để so sánh tung độ trên hai đường thẳng; khi hai điểm trùng nhau, đọc tọa độ giao điểm và đối chiếu với nghiệm của hệ.

Mô phỏng: Thế và tìm giao điểm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Vẽ đường thẳng biểu diễn một phương trình

Vẽ đường thẳng biểu diễn phương trình $2x+y=4$.

Cho $x=0$, ta có $y=4$. Vậy điểm $(0;4)$ thuộc đường thẳng.
Cho $y=0$, ta có $x=2$. Vậy điểm $(2;0)$ cũng thuộc đường thẳng.
Chấm hai điểm $(0;4)$ và $(2;0)$ trên mặt phẳng tọa độ, rồi nối chúng.

Đường thẳng vừa vẽ biểu diễn phương trình vì mỗi điểm trên đường có tọa độ thỏa mãn phương trình đó.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của hệ bằng đồ thị

Giải hệ phương trình $\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}$ bằng đồ thị.

Với đường thẳng $x+y=5$, hai điểm dễ xác định là $(0;5)$ và $(5;0)$.
Với đường thẳng $x-y=1$, ta có thể lấy hai điểm $(1;0)$ và $(3;2)$.
Vẽ hai đường thẳng. Chúng cắt nhau tại điểm $(3;2)$.
Vậy nghiệm của hệ là $(x;y)=(3;2)$. Kiểm tra: $3+2=5$ và $3-2=1$.

Điểm giao là nghiệm vì tọa độ của nó thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình.

Ví dụ 3: Nhận biết hệ vô nghiệm và hệ có vô số nghiệm

Trường hợp A: Xét hệ $\begin{cases}x+y=3\\2x+2y=6\end{cases}$. Phương trình thứ hai tương đương với phương trình thứ nhất, nên hai đường thẳng trùng nhau. Mọi điểm trên đường thẳng đều thỏa mãn cả hai phương trình; hệ có vô số nghiệm.

Trường hợp B: Xét hệ $\begin{cases}x+y=3\\x+y=5\end{cases}$. Hai đường thẳng có cùng hệ số của $x$ và $y$ nhưng khác hằng số, nên chúng song song và phân biệt. Chúng không có điểm chung; hệ vô nghiệm.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

Lỗi: Chỉ xác định được một điểm rồi coi đó là cả đường thẳng. Mẹo: Tìm ít nhất hai điểm phân biệt để vẽ đường thẳng.
Lỗi: Chỉ kiểm tra giao điểm với một phương trình. Mẹo: Thử thay tọa độ giao điểm vào cả hai phương trình.
Lỗi: Nhầm hai đường trùng nhau với hai đường song song. Mẹo: Trùng nhau có vô số điểm chung; song song phân biệt không có điểm chung.
Mẹo nhớ: Cắt nhau — một nghiệm; song song — không nghiệm; trùng nhau — vô số nghiệm.

Tự kiểm tra nhanh

Hai điểm $(0;4)$ và $(2;0)$ có thuộc đường thẳng $2x+y=4$ không?
Giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn một hệ là $(3;2)$. Cặp số nào là nghiệm của hệ?
Hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình trùng nhau. Hệ có bao nhiêu nghiệm?

Đáp án — hãy tự làm trước khi đọc: Câu 1: Có, vì cả hai cặp số đều thỏa mãn phương trình. Câu 2: $(x;y)=(3;2)$. Câu 3: Có vô số nghiệm.