Tìm hệ số từ một điểm trên parabol
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh lập được phương trình theo a từ tọa độ một điểm trên parabol.
- Học sinh xác định được hàm số y = ax² khi biết một điểm khác gốc tọa độ thuộc đồ thị.
Khám phá
Lan đang vẽ parabol có dạng $y=ax^{2}$. Bạn đánh dấu điểm $A(2;12)$ và biết điểm này nằm trên parabol. Em có thể tìm được $a$ không? Ta sẽ dùng chính tọa độ của điểm để lập một phương trình.
Hãy kéo thanh trượt $a$ đến khi điểm $A(2;12)$ nằm trên parabol, rồi đọc giá trị của $a$.
Kiến thức trọng tâm
Nếu điểm $M(x_{0};y_{0})$ thuộc đồ thị $y=ax^{2}$ thì tọa độ của điểm thỏa mãn công thức:
$$y_{0}=a x_{0}^{2}.$$
Nếu $x_{0}\ne 0$, ta chia hai vế cho $x_{0}^{2}$ để tìm hệ số:
$$a=\frac{y_{0}}{x_{0}^{2}}.$$
Sau đó, thay $a$ tìm được vào công thức $y=ax^{2}$ để viết hàm số và kiểm tra lại tọa độ điểm. Điểm khác gốc tọa độ có $x_{0}\ne 0$. Nếu chỉ biết điểm $(0;0)$ thì chưa thể xác định duy nhất $a$, vì điểm này thuộc mọi đồ thị $y=ax^{2}$.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Tìm hệ số từ điểm có hoành độ dương
Điểm $A(2;12)$ thuộc đồ thị $y=ax^{2}$. Tìm hàm số.
Bước 1. Thay $x=2$, $y=12$ vào công thức:
$$12=a\cdot 2^{2}.$$
Bước 2. Giải phương trình: $12=4a$, nên $a=3$.
Bước 3. Vậy hàm số là $y=3x^{2}$. Kiểm tra: khi $x=2$, ta có $y=3\cdot 2^{2}=12$. Đúng với tọa độ điểm $A$.
Ví dụ 2: Điểm có hoành độ âm
Điểm $B(-3;18)$ thuộc đồ thị $y=ax^{2}$. Tìm hàm số.
Bước 1. Thay tọa độ điểm vào công thức:
$$18=a\cdot (-3)^{2}.$$
Bước 2. Vì $(-3)^{2}=9$, ta có $18=9a$, suy ra $a=2$.
Bước 3. Hàm số cần tìm là $y=2x^{2}$. Kiểm tra: với $x=-3$, $y=2\cdot(-3)^{2}=18$. Điểm $B$ nằm trên đồ thị như đề bài cho.
Ví dụ 3: Tọa độ có phân số
Điểm $C\left(\frac{1}{2};\frac{3}{8}\right)$ thuộc đồ thị $y=ax^{2}$. Tìm hàm số.
Bước 1. Thay tọa độ điểm vào công thức:
$$\frac{3}{8}=a\left(\frac{1}{2}\right)^{2}.$$
Bước 2. Vì $\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$, nên $\frac{3}{8}=\frac{a}{4}$. Suy ra $a=\frac{3}{2}$.
Bước 3. Hàm số là $y=\frac{3}{2}x^{2}$. Kiểm tra tại $x=\frac{1}{2}$: $y=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$, đúng với tung độ của điểm $C$.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
- Đừng quên bình phương hoành độ. Thay $x_{0}$ vào $x^{2}$ phải tính $x_{0}^{2}$, kể cả khi $x_{0}$ âm. Chẳng hạn, $(-3)^{2}=9$, không phải $-9$.
- Phân biệt tọa độ: hoành độ thay cho $x$, tung độ thay cho $y$.
- Mẹo nhớ: Thay tọa độ → lập $y_{0}=a x_{0}^{2}$ → giải tìm $a$ → thay lại để kiểm tra.
- Nếu điểm khác gốc tọa độ thuộc đồ thị thì $x_{0}\ne 0$, nên có thể chia cho $x_{0}^{2}$ để tìm $a$.
Tự kiểm tra nhanh
- Điểm $P(3;27)$ thuộc đồ thị $y=ax^{2}$. Tìm $a$.
- Điểm $Q(-2;6)$ thuộc đồ thị $y=ax^{2}$. Hàm số là gì?
- Vì sao chỉ biết điểm $(0;0)$ thuộc đồ thị chưa đủ để tìm $a$?
Đáp án — hãy tự làm trước khi xem:
- $a=3$.
- $a=\frac{3}{2}$, nên hàm số là $y=\frac{3}{2}x^{2}$.
- Vì thay $(0;0)$ vào công thức chỉ được $0=a\cdot0^{2}$, đúng với mọi giá trị của $a$.