Độ dài và vectơ đối

Khám phá: Đi rồi quay lại

Mai đi thẳng từ cổng trường đến quầy nước. Bạn đi được một đoạn theo một hướng; lúc quay về đúng đường cũ, bạn đi một đoạn dài bằng thế nhưng theo hướng ngược lại. Hai lần di chuyển ấy gợi ý cho ta điều gì về độ dài và vectơ đối?

Hãy tưởng tượng mỗi lần di chuyển là một vectơ: hướng cho biết đường đi, còn độ dài cho biết quãng đường.

Kéo điểm B để thay đổi vectơ \(\overrightarrow{AB}\). Quan sát vectơ \(\overrightarrow{CD}\) luôn ngược hướng và có độ dài bằng nó; thử kéo B trùng A để thấy trường hợp vectơ không.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Tính độ dài trên lưới

Trên lưới tọa độ, cho \(A(1;1)\), \(B(4;5)\). Tìm độ dài \(\overrightarrow{AB}\).

1. Từ \(A\) đến \(B\), ta đi ngang \(3\) đơn vị và đi lên \(4\) đơn vị.
2. Đoạn \(AB\) là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài \(3\) và \(4\). Do đó \(AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\).
3. Vậy \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=5\) đơn vị.

Ví dụ 2: Nhận ra hai vectơ đối nhau

Cho \(M(-2;1)\), \(N(1;3)\), \(P(4;-1)\), \(Q(1;-3)\). Xét \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{PQ}\).

1. Từ \(M\) đến \(N\), ta đi sang phải \(3\) đơn vị và lên \(2\) đơn vị.
2. Từ \(P\) đến \(Q\), ta đi sang trái \(3\) đơn vị và xuống \(2\) đơn vị.
3. Hai vectơ có độ dài bằng nhau, đều là \(\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}\), nhưng ngược hướng. Vậy \(\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{MN}\).

Ví dụ 3: Nhận biết vectơ không

Hai điểm \(E\) và \(F\) trùng nhau. Xác định độ dài và vectơ đối của \(\overrightarrow{EF}\).

1. Vì điểm đầu và điểm cuối trùng nhau nên \(\overrightarrow{EF}=\vec{0}\).
2. Độ dài của nó bằng \(\left|\overrightarrow{EF}\right|=0\).
3. Vectơ đối của vectơ không vẫn là vectơ không: \(-\vec{0}=\vec{0}\).

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Kết luận hai vectơ đối nhau chỉ vì chúng có độ dài bằng nhau. Mẹo: Kiểm tra đủ hai ý: cùng độ dài, ngược hướng.
• Lỗi: Nhầm vectơ đối với vectơ cùng hướng. Khi đổi thứ tự hai đầu mút, hướng đổi ngược: \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
• Mẹo nhớ: Đối nhau nghĩa là “dài bằng nhau, đi ngược nhau”; vectơ không có độ dài bằng \(0\).

Tự kiểm tra nhanh

1. Trên hình vẽ, đoạn thẳng \(CD\) dài \(6\) cm. Độ dài vectơ \(\overrightarrow{CD}\) bằng bao nhiêu?
2. Nếu \(\vec{a}\) có độ dài \(5\), vectơ \(-\vec{a}\) có độ dài bao nhiêu và hướng thế nào so với \(\vec{a}\)?
3. Vectơ \(\overrightarrow{KK}\) là vectơ gì, có độ dài bao nhiêu?