Mệnh đề phủ định và lượng từ
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh viết được mệnh đề phủ định của một mệnh đề đơn giản.
- Học sinh xác định được ý nghĩa của lượng từ trong một phát biểu.
Khám phá
Nhóm của An có quy ước: “Mọi bạn trong nhóm đều mang bình nước.” Chỉ cần tìm một bạn không mang bình là đủ kết luận câu này sai. Câu phủ định của nó không phải là “Không bạn nào mang bình”, mà là “Có ít nhất một bạn không mang bình”.
Thử kéo thanh trượt qua các giá trị của $x$. Quan sát điểm trên đồ thị có nằm dưới hay trên đường $y=0$ để kiểm tra khi nào $x^{2}<5$ đúng.
Kiến thức trọng tâm
Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ được kí hiệu là $\overline{P}$ hoặc $\neg P$. Mệnh đề này có giá trị đúng sai ngược với $P$.
Lượng từ “với mọi” được kí hiệu là $\forall$. Chẳng hạn, $\forall x\in D,\ P(x)$ nghĩa là: với mọi phần tử $x$ thuộc tập $D$, mệnh đề $P(x)$ đều đúng.
Lượng từ “tồn tại” được kí hiệu là $\exists$. Chẳng hạn, $\exists x\in D,\ P(x)$ nghĩa là: có ít nhất một phần tử $x$ thuộc tập $D$ làm cho $P(x)$ đúng.
Quy tắc phủ định lượng từ:
$\neg(\forall x\in D,\ P(x))\Leftrightarrow\exists x\in D,\ \neg P(x)$
$\neg(\exists x\in D,\ P(x))\Leftrightarrow\forall x\in D,\ \neg P(x)$
Nói gọn: phủ định “mọi” thành “có ít nhất một ... không”; phủ định “tồn tại” thành “mọi ... đều không”. Luôn chú ý tập xác định $D$.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Phủ định một mệnh đề đơn giản
Viết mệnh đề phủ định của: “$21$ chia hết cho $3$.”
- Gọi $P$ là mệnh đề “$21$ chia hết cho $3$”.
- Phủ định trực tiếp nội dung của mệnh đề: “$21$ không chia hết cho $3$.”
Vì $21=3\cdot7$, mệnh đề ban đầu đúng và mệnh đề phủ định sai. Hai mệnh đề luôn có giá trị đúng sai trái ngược nhau.
Ví dụ 2: Phủ định mệnh đề “với mọi”
Phủ định mệnh đề: “Với mọi số tự nhiên $n$, ta có $n+1>n$.”
- Nhận ra lượng từ “với mọi” và tập xác định là $\mathbb{N}$.
- Đổi “với mọi” thành “tồn tại”, rồi phủ định nội dung $n+1>n$ thành $n+1\le n$.
Mệnh đề phủ định là: “Tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $n+1\le n$.” Mệnh đề này sai, nên mệnh đề ban đầu đúng.
Ví dụ 3: Kiểm tra trên tập hữu hạn
Cho $D=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$. Xét mệnh đề: “Với mọi $x\in D$, $x^{2}<5$.”
- Thử các giá trị trong $D$. Với $x=3$, ta có $3^{2}=9$, mà $9\not<5$.
- Vậy có phần tử trong $D$ khiến điều kiện sai; mệnh đề “với mọi” là sai.
- Mệnh đề phủ định là: “Tồn tại $x\in D$ sao cho $x^{2}\ge5$.” Mệnh đề phủ định này đúng, chẳng hạn với $x=3$.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
- Lỗi: Phủ định “mọi bạn đều ...” thành “không bạn nào ...”. Mẹo: Chỉ cần một trường hợp ngược lại là đủ phủ định chữ “mọi”.
- Lỗi: Đổi lượng từ nhưng quên phủ định phần điều kiện. Ví dụ, phủ định $x>2$ là $x\le2$, không phải $x<2$.
- Mẹo: Viết rõ tập xác định trước khi kết luận. Muốn bác bỏ mệnh đề “với mọi”, hãy tìm một phản ví dụ; muốn khẳng định mệnh đề “tồn tại”, chỉ cần nêu một ví dụ phù hợp.
Tự kiểm tra nhanh
- Phủ định câu: “Mọi học sinh lớp $10$ đều mang bình nước.”
- Phủ định mệnh đề: $\exists n\in\mathbb{Z},\ n^{2}=4$.
- Cho $D=\{1,2,3\}$. Mệnh đề $\forall x\in D,\ x<3$ đúng hay sai?
Đáp án — chỉ xem sau khi đã tự làm: Câu $1$: Có ít nhất một học sinh lớp $10$ không mang bình nước. Câu $2$: $\forall n\in\mathbb{Z},\ n^{2}\ne4$. Câu $3$: Sai, vì $x=3$ thuộc $D$ nhưng không thỏa $x<3$.