Tập xác định và tập giá trị của hàm số
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh xác định được tập xác định của hàm số cho bởi biểu thức đơn giản.
- Học sinh đọc được tập giá trị của hàm số từ bảng hoặc đồ thị cho trước.
Khám phá: Đầu vào nào dùng được?
Quán nước của bạn An có máy pha sinh tố. Máy chỉ hoạt động khi bạn nhập một số lượng trái cây phù hợp; sau đó máy cho ra một lượng sinh tố tương ứng. Trong hàm số cũng vậy: đầu vào phải hợp lệ, và mỗi đầu vào hợp lệ cho đúng một đầu ra.
Ta gọi tập các đầu vào hợp lệ là tập xác định. Tập các đầu ra thực sự nhận được là tập giá trị.
Kiến thức trọng tâm
Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả giá trị của biến số để biểu thức của hàm số có nghĩa.
Tập giá trị của hàm số là tập hợp tất cả giá trị đầu ra mà hàm số nhận được khi biến số chạy trong tập xác định.
Khi tìm tập xác định từ biểu thức, kiểm tra các điều kiện làm biểu thức có nghĩa. Với căn bậc hai, biểu thức dưới dấu căn phải không âm. Với phân thức, mẫu số phải khác không.
Khi đọc từ bảng, tập xác định gồm các giá trị đầu vào được ghi; tập giá trị gồm các đầu ra tương ứng, chỉ viết mỗi giá trị một lần. Khi đọc từ đồ thị, hình dung chiếu đồ thị xuống trục hoành để tìm tập xác định, rồi chiếu lên trục tung để tìm tập giá trị. Chú ý điểm đặc và điểm rỗng nếu có.
Hãy kéo thanh trượt x, quan sát điểm trên đồ thị và để ý các khoảng giá trị trên hai trục mà đồ thị có mặt.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Hàm số cho bởi biểu thức
Tìm tập xác định của hàm số $f(x)=\sqrt{x-2}$.
- Biểu thức dưới căn phải không âm: $x-2\ge 0$.
- Giải bất đẳng thức, được $x\ge 2$.
- Vậy tập xác định là $D=[2; +\infty)$.
Vì sao? Khi $x<2$, số dưới căn âm nên căn bậc hai không xác định trong tập số thực.
Ví dụ 2: Đọc từ bảng
Bảng sau ghi một số giá trị của hàm số $g$:
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $g(x)$ | $1$ | $3$ | $1$ | $5$ |
- Các đầu vào được ghi là $0,1,2,3$, nên tập xác định trong bảng là $\{0;1;2;3\}$.
- Các đầu ra tương ứng là $1,3,1,5$. Bỏ giá trị lặp, tập giá trị là $\{1;3;5\}$.
Giá trị đầu ra $1$ xuất hiện hai lần nhưng chỉ được ghi một lần trong tập giá trị.
Ví dụ 3: Đọc từ đồ thị
Xét đồ thị nửa đường tròn phía trên có phương trình $y=\sqrt{9-x^{2}}$.
- Đồ thị kéo dài theo phương ngang từ $x=-3$ đến $x=3$. Vì hai đầu mút thuộc đồ thị, tập xác định là $[-3;3]$.
- Độ cao thấp nhất là $0$ và cao nhất là $3$. Đồ thị đạt cả hai mức này, nên tập giá trị là $[0;3]$.
Đọc tập xác định bằng cách nhìn các hoành độ có điểm trên đồ thị; đọc tập giá trị bằng cách nhìn các tung độ có điểm trên đồ thị.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
- Lỗi: Nhầm tập xác định với tập giá trị. Mẹo: “Xác định” hỏi đầu vào $x$; “giá trị” hỏi đầu ra $y$.
- Lỗi: Quên loại giá trị làm mẫu số bằng $0$ hoặc làm biểu thức dưới căn âm. Hãy kiểm tra điều kiện trước khi kết luận.
- Lỗi: Ghi lặp một đầu ra nhiều lần khi viết tập giá trị từ bảng. Tập hợp chỉ ghi mỗi giá trị một lần.
- Mẹo đọc đồ thị: Chiếu xuống trục hoành để tìm đầu vào; chiếu sang trục tung để tìm đầu ra. Điểm rỗng không được lấy, điểm đặc được lấy.
Tự kiểm tra nhanh
- Tìm tập xác định của $h(x)=\sqrt{5-x}$.
- Bảng có các đầu vào $-1,0,2$ và các đầu ra tương ứng $4,2,4$. Hãy viết tập xác định và tập giá trị được ghi trong bảng.
- Đồ thị của hàm số có hoành độ chạy từ $-2$ đến $4$, hai đầu mút đều thuộc đồ thị; tung độ chạy từ $1$ đến $5$ và cũng đạt cả hai đầu mút. Hãy nêu tập xác định và tập giá trị.
Đáp án — hãy tự làm trước khi xem:
- $D=(-\infty;5]$.
- Tập xác định là $\{-1;0;2\}$; tập giá trị là $\{2;4\}$.
- Tập xác định là $[-2;4]$; tập giá trị là $[1;5]$.