Giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Khám phá

Trong một trò chơi, An bắt đầu với số $x_1=1$. Mỗi lượt, bạn ấy thay số hiện tại bằng căn bậc hai của tổng số đó với $2$, tức là $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$. Các số mới có vẻ tiến gần đến một giá trị ổn định. Làm sao biết dãy thật sự tiến đến đâu, thay vì chỉ đoán từ vài số đầu?

Ta cần hai việc: chứng minh các số hạng tiến theo một chiều và không thể vượt khỏi một giới hạn; sau đó mới tìm giá trị mà dãy tiến tới.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Dãy căn tiến đến giá trị nào?

Xét dãy $x_1=1$, $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$ với $n\ge1$. Chứng minh dãy hội tụ và tìm giới hạn.

1. Chứng minh bị chặn trên. Ta có $x_1=1<2$. Nếu $0
2. Chứng minh tăng. Trước hết, $x_2=\sqrt{3}>x_1$. Hàm $f(x)=\sqrt{2+x}$ tăng trên miền đang xét. Vì vậy, nếu $x_n>x_{n-1}$ thì $x_{n+1}=f(x_n)>f(x_{n-1})=x_n$. Theo quy nạp, dãy tăng.
3. Kết luận hội tụ. Dãy tăng và bị chặn trên bởi $2$, nên hội tụ. Gọi giới hạn là $L$. Do $x_n>0$, ta có $L\ge0$. Tính liên tục của căn thức cho $L=\sqrt{2+L}$.
4. Giải phương trình giới hạn. Bình phương hai vế được $L^2-L-2=0$, hay $(L-2)(L+1)=0$. Hai nghiệm là $2$ và $-1$, nhưng $L\ge0$, nên $\boxed{L=2}$.

Ví dụ 2: Dãy phân thức

Xét $y_1=1$, $y_{n+1}=\frac{3y_n+4}{y_n+3}$ với $n\ge1$. Chứng minh dãy hội tụ và tìm giới hạn.

1. Chứng minh bị chặn trên. Ta có $y_1=1<2$. Nếu $00$ và $\frac{3y_n+4}{y_n+3}<2$, vì bất đẳng thức này tương đương với $y_n<2$. Đồng thời $y_{n+1}>0$. Do đó $0
2. Chứng minh tăng. Với $00$. Vậy dãy tăng.
3. Kết luận hội tụ và tìm giới hạn. Dãy tăng, bị chặn trên nên hội tụ. Gọi giới hạn là $L$. Vì $y_n\ge1$, ta có $L\ge1$. Hàm $g(x)=\frac{3x+4}{x+3}$ liên tục tại $L$, nên $L=\frac{3L+4}{L+3}$. Suy ra $L^2=4$. Hai nghiệm là $2$ và $-2$; điều kiện $L\ge1$ loại nghiệm $-2$. Vậy $\boxed{L=2}$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Thay ngay $x_{n+1}$ và $x_n$ bằng $L$ khi chưa chứng minh dãy hội tụ. Mẹo: Trước hết chứng minh đơn điệu và bị chặn.
• Lỗi: Quên kiểm tra mẫu số, miền xác định hoặc dấu khi chứng minh bị chặn. Mẹo: Ghi rõ điều kiện để mỗi phép biến đổi tương đương hợp lệ.
• Lỗi: Nhận tất cả nghiệm của phương trình giới hạn làm đáp án. Mẹo: Đối chiếu nghiệm với khoảng chứa mọi số hạng và do đó cả giới hạn.
• Ghi nhớ: Đơn điệu + bị chặn ⇒ hội tụ; hội tụ + truy hồi liên tục ⇒ giới hạn là điểm cố định.

Tự kiểm tra nhanh

1. Một dãy tăng và bị chặn trên thì có kết luận được dãy hội tụ không?
2. Nếu $x_{n+1}=\sqrt{5+x_n}$ và dãy hội tụ đến $L$, phương trình nào xác định $L$?
3. Phương trình $L^2=9$ có hai nghiệm. Nếu đã biết $x_n>0$ với mọi $n$, nên chọn nghiệm nào làm giới hạn?