Hàm số mũ và đồ thị

Khám phá

Một cửa hàng trực tuyến thử nghiệm số lượt người xem tăng gấp đôi sau mỗi giờ. Nếu lúc bắt đầu có một lượt xem, sau $x$ giờ số lượt xem được mô tả bởi $2^x$. Nhưng nếu mỗi giờ chỉ còn một nửa lượt xem so với giờ trước, điều gì xảy ra với đồ thị? Hôm nay ta sẽ tìm câu trả lời bằng cách nhìn vào cơ số.

Mô phỏng: Ba cơ số, ba đồ thị

Hãy quan sát ba đường cong. Đặc biệt, thử lần theo chúng khi $x$ tăng dần và kiểm tra xem cả ba có đi qua cùng một điểm hay không.

Kiến thức trọng tâm

Hàm số có dạng $y=a^x$, trong đó $a>0$ và $a\ne 1$, được gọi là hàm số mũ cơ bản.

Tập xác định: $\mathbb{R}$, vì với mọi số thực $x$, lũy thừa $a^x$ đều xác định khi $a>0$.
Tập giá trị: $(0;+\infty)$, vì $a^x$ luôn dương.
Điểm đặc biệt: đồ thị luôn đi qua $(0;1)$, bởi $a^0=1$.
Tiệm cận ngang: trục hoành, tức đường thẳng $y=0$. Đồ thị tiến gần trục hoành nhưng không cắt trục này.
Nếu $a>1$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$: $x$ tăng thì $a^x$ tăng.
Nếu $0

Cơ số quyết định chiều đi của đồ thị. Với cơ số lớn hơn $1$, đường cong đi lên từ trái sang phải; với cơ số nằm giữa $0$ và $1$, đường cong đi xuống.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Nhận biết chiều biến thiên

Xét hàm số $f(x)=3^x$.

Cơ số là $a=3$, nên $a>1$.
Vì cơ số lớn hơn $1$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Tập xác định là $\mathbb{R}$; tập giá trị là $(0;+\infty)$; đồ thị đi qua $(0;1)$.

Vậy khi $x$ tăng, giá trị $3^x$ tăng. Chẳng hạn, $3^0=1$ và $3^1=3$.

Ví dụ 2: Phác họa đồ thị

Phác họa đồ thị hàm số $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$.

Cơ số $\frac{1}{2}$ thỏa mãn $0<\frac{1}{2}<1$, nên hàm số nghịch biến.
Lập một số điểm: khi $x=-2$, $y=4$; khi $x=-1$, $y=2$; khi $x=0$, $y=1$; khi $x=1$, $y=\frac{1}{2}$; khi $x=2$, $y=\frac{1}{4}$.
Đánh dấu các điểm trên mặt phẳng tọa độ rồi nối bằng một đường cong trơn đi xuống từ trái sang phải.
Đường cong đi qua $(0;1)$ và tiến gần trục hoành khi $x$ tăng, nhưng không chạm trục hoành.

Đó là hình dạng đặc trưng của đồ thị hàm số mũ có cơ số nằm giữa $0$ và $1$.

Ví dụ 3: Đọc thông tin từ đồ thị

Trên đồ thị $y=2^x$, tìm $x$ khi $y=8$.

Ta cần tìm hoành độ của điểm trên đồ thị có tung độ bằng $8$.
Vì $2^3=8$, điểm tương ứng là $(3;8)$.
Vậy khi $y=8$ thì $x=3$.

Cũng từ đồ thị, tại $x=-3$ ta có $y=2^{-3}=\frac{1}{8}$.

Lỗi hay gặp và mẹo nhớ

Lỗi: cho rằng hàm số mũ xác định với mọi cơ số. Hãy nhớ điều kiện $a>0$ và $a\ne 1$.
Lỗi: nhầm chiều biến thiên. Hãy so sánh cơ số với $1$: lớn hơn $1$ thì đồ thị đi lên; nằm giữa $0$ và $1$ thì đồ thị đi xuống.
Lỗi: nghĩ đồ thị cắt trục hoành vì nhìn thấy đường cong tiến sát trục. Giá trị $a^x$ luôn dương, nên đồ thị không cắt trục hoành.
Mẹo nhớ: mọi đồ thị $y=a^x$ đều gặp nhau tại $(0;1)$; cơ số quyết định đồ thị tăng hay giảm.

Tự kiểm tra nhanh

Hàm số $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ đồng biến hay nghịch biến?
Đồ thị $y=5^x$ đi qua điểm nào có hoành độ bằng $0$?
Trên đồ thị $y=2^x$, điểm có tung độ bằng $4$ có hoành độ là bao nhiêu?

Đáp án — xem sau khi tự làm

Nghịch biến, vì $0<\frac{1}{3}<1$.
Đi qua $(0;1)$.
Hoành độ bằng $2$, vì $2^2=4$.