Lũy thừa với số mũ thực
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh xác định được điều kiện để lũy thừa với số mũ thực có nghĩa.
- Học sinh vận dụng được các quy tắc lũy thừa để rút gọn biểu thức.
Khám phá
Trên bảng điện tử của một câu lạc bộ, số lượt xem được mô hình hóa bằng lũy thừa của một cơ số dương. Số mũ có thể là số nguyên, phân số hoặc số vô tỉ. Chẳng hạn, biểu thức $2^{\sqrt{2}}$ vẫn có nghĩa trong tập số thực. Vì sao cơ số dương lại quan trọng?
Kiến thức trọng tâm
Định nghĩa: Với cơ số $a>0$ và số mũ thực $x$, lũy thừa $a^x$ được xác định bởi
$$a^x=e^{x\ln a}.$$
Điều kiện $a>0$ bảo đảm $ \ln a$ có nghĩa trong tập số thực, nên công thức xác định được $a^x$. Vì vậy, trong bài học này, lũy thừa với số mũ thực được xét với cơ số dương.
Một số giá trị và quy tắc:
- $a^0=1$ và $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ với $a>0$.
- $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$.
- $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$.
- $(a^x)^y=a^{xy}$.
- $(ab)^x=a^x b^x$ với $a>0$, $b>0$.
- $\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x}$ với $a>0$, $b>0$.
Lưu ý: Cơ số âm không được dùng trong định nghĩa lũy thừa với số mũ thực tổng quát; một số trường hợp số mũ hữu tỉ có thể xét riêng. Cơ số $0$ cũng không thuộc định nghĩa trên.
Kéo thanh trượt của số mũ và cơ số dương; quan sát giá trị $a^x$ thay đổi và luôn có nghĩa trên mô phỏng.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Xét điều kiện xác định
Trong các biểu thức $5^{\sqrt{3}}$, $(-5)^{\sqrt{3}}$ và $0^{-2}$, biểu thức nào được xác định trong tập số thực theo định nghĩa lũy thừa với số mũ thực?
- $5^{\sqrt{3}}$ có cơ số $5>0$, nên được xác định.
- $(-5)^{\sqrt{3}}$ có cơ số âm, không thỏa điều kiện cơ số dương.
- $0^{-2}$ không thỏa điều kiện cơ số dương; hơn nữa, số mũ âm đòi hỏi lấy nghịch đảo.
Kết luận: Chỉ có $5^{\sqrt{3}}$ được xác định theo định nghĩa đang học.
Ví dụ 2. Rút gọn bằng cách đưa về cùng cơ số
Rút gọn $16^{\frac{3}{4}}\cdot 2^{-1}$.
- Viết $16$ dưới dạng lũy thừa của $2$: $16=2^4$.
- Dùng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: $16^{\frac{3}{4}}=(2^4)^{\frac{3}{4}}=2^3$.
- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $2^3\cdot 2^{-1}=2^{3+(-1)}=2^2=4$.
Kết quả: $4$.
Ví dụ 3. Kết hợp nhiều quy tắc
Rút gọn $\frac{9^{\sqrt{2}}\cdot 3^{1-\sqrt{2}}}{27^{\frac{1}{3}}}$.
- Đưa các cơ số về $3$: $9=3^2$ và $27=3^3$.
- Ta có $9^{\sqrt{2}}=3^{2\sqrt{2}}$ và $27^{\frac{1}{3}}=3$.
- Gộp các lũy thừa cùng cơ số: $\frac{3^{2\sqrt{2}}\cdot 3^{1-\sqrt{2}}}{3}=3^{2\sqrt{2}+1-\sqrt{2}-1}$.
- Thu gọn số mũ: $3^{2\sqrt{2}+1-\sqrt{2}-1}=3^{\sqrt{2}}$.
Kết quả: $3^{\sqrt{2}}$.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
- Lỗi: Cho rằng mọi cơ số âm đều có thể nâng lên số mũ thực. Mẹo: Với định nghĩa tổng quát ở bài này, hãy kiểm tra cơ số dương trước.
- Lỗi: Tính $(a^x)^y$ thành $a^{x+y}$. Mẹo: Lũy thừa của lũy thừa thì nhân các số mũ.
- Lỗi: Cộng số mũ khi chia hai lũy thừa cùng cơ số. Mẹo: Nhân thì cộng số mũ; chia thì lấy số mũ trên trừ số mũ dưới.
- Khi rút gọn, hãy đưa các cơ số về cùng một cơ số dương nếu có thể.
Tự kiểm tra nhanh
- Biểu thức $(-3)^{\sqrt{5}}$ có được xác định theo định nghĩa lũy thừa với số mũ thực không?
- Rút gọn $5^{\sqrt{3}}\cdot 5^{2-\sqrt{3}}$.
- Rút gọn $(2^{\sqrt{3}})^2$.
Đáp án — hãy tự làm trước khi xem:
- Không, vì cơ số âm.
- $5^{\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}=5^2=25$.
- $2^{2\sqrt{3}}$.