Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khám phá: Thời gian đi học có đồng đều không?

Lớp của An khảo sát thời gian đi từ nhà đến trường. Kết quả được gom thành các khoảng phút. Nếu một bạn có thời gian đi học rất lâu, độ trải rộng từ bạn đi nhanh nhất đến bạn đi lâu nhất có thể thay đổi rõ rệt. Còn phần giữa của cả lớp thì sao?

Ta sẽ dùng hai số đo: khoảng biến thiên nhìn vào hai đầu mẫu; khoảng tứ phân vị tập trung vào phần giữa.

Kiến thức trọng tâm

Thử kéo thanh trượt đến các mốc tứ phân vị trên đường tích lũy, rồi quan sát vị trí mốc được nội suy trong lớp.

Ví dụ 1: Ước lượng khoảng biến thiên

Bảng sau ghi thời gian đi học của một nhóm học sinh:

1. Lớp đầu có tần số khác không là $[5;15)$, có cận dưới là $5$.
2. Lớp cuối có tần số khác không là $[35;45)$, có cận trên là $45$.
3. Vậy khoảng biến thiên ước lượng là $R \approx 45-5=40$ phút.

Ý nghĩa: Thời gian đi học của nhóm trải rộng khoảng $40$ phút theo hai đầu các lớp. Vì chỉ biết khoảng chứa dữ liệu, ta không biết chính xác giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của từng bạn.

Ví dụ 2: Tính khoảng tứ phân vị

Một khảo sát khác cho bảng sau. Các lớp có độ dài bằng nhau:

1. Tổng tần số là $N=40$. Vị trí của $Q_1$ là $\frac{N}{4}=10$; vị trí của $Q_3$ là $\frac{3N}{4}=30$.
2. Vị trí thứ $10$ nằm trong lớp $[20;30)$, vì tần số tích lũy tăng từ $4$ lên $12$. Ở lớp này, $L=20$, $F=4$, $f=8$, $h=10$. Do đó $$Q_1 \approx 20 + \frac{10-4}{8} \cdot 10 = 27{,}5.$$
3. Vị trí thứ $30$ nằm trong lớp $[40;50)$, vì tần số tích lũy tăng từ $24$ lên $34$. Ở lớp này, $L=40$, $F=24$, $f=10$, $h=10$. Do đó $$Q_3 \approx 40 + \frac{30-24}{10} \cdot 10 = 46.$$
4. Tính hiệu: $$\Delta_Q = Q_3-Q_1 \approx 46-27{,}5=18{,}5\text{ phút}.$$

Ý nghĩa: Khoảng $50\%$ số liệu nằm ở phần giữa, từ khoảng $27{,}5$ phút đến $46$ phút; độ trải rộng của phần giữa được ước lượng là $18{,}5$ phút.

Lỗi hay gặp và mẹo nhớ

• Nhầm tần số với tần số tích lũy: Tần số tích lũy đến trước lớp chứa tứ phân vị mới là $F$ trong công thức.
• Chọn nhầm lớp chứa tứ phân vị: Tính các vị trí $\frac{N}{4}$ và $\frac{3N}{4}$ trước, rồi dò trong cột tần số tích lũy.
• Quên trừ $Q_1$ khỏi $Q_3$: Khoảng tứ phân vị là $Q_3-Q_1$, không phải tổng hai tứ phân vị.
• Mẹo nhớ: Khoảng biến thiên nhìn hai đầu lớp có số liệu; khoảng tứ phân vị nhìn khoảng cách giữa hai mốc $Q_1$ và $Q_3$.
• Một giá trị cực xa ở đầu mẫu thường làm khoảng biến thiên đổi nhiều. Khoảng tứ phân vị tập trung vào phần giữa nên thường ít nhạy hơn, nhưng vẫn có thể thay đổi nếu các vị trí tứ phân vị đổi.

Tự kiểm tra nhanh

1. Các lớp đầu và cuối có số liệu lần lượt là $[2;7)$ và $[12;17)$. Ước lượng khoảng biến thiên là bao nhiêu?
2. Nếu $Q_1=18$ và $Q_3=31$, hãy tính khoảng tứ phân vị.
3. Nếu thêm một giá trị rất lớn ở đầu trên của mẫu, số đo nào thường thay đổi rõ hơn: khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị?