Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh xác định được giá trị đại diện của các nhóm trong bảng.
- Học sinh tính được phương sai gần đúng của mẫu số liệu ghép nhóm.
Khám phá
Một nhóm học sinh ghi lại thời gian đi từ nhà đến trường. Thay vì ghi từng thời gian riêng lẻ, các bạn gom kết quả vào những khoảng như $[0;10)$ phút, $[10;20)$ phút và $[20;30)$ phút. Làm sao mô tả được các thời gian này tập trung gần nhau hay trải rộng?
Ta sẽ đại diện mỗi khoảng bằng trung điểm của nó, rồi đo mức độ các giá trị đại diện lệch khỏi số trung bình.
Kiến thức trọng tâm
Giá trị đại diện: Với nhóm có khoảng $[a_i;a_{i+1})$, ta lấy trung điểm làm giá trị đại diện:
$$x_i=\frac{a_i+a_{i+1}}{2}.$$
Gọi $n_i$ là tần số của nhóm thứ $i$ và $n=n_1+n_2+\cdots+n_k$ là cỡ mẫu. Số trung bình gần đúng là:
$$\overline{x}\approx\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_kx_k}{n}.$$
Phương sai gần đúng của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$$s^2\approx\frac{n_1(x_1-\overline{x})^2+n_2(x_2-\overline{x})^2+\cdots+n_k(x_k-\overline{x})^2}{n}.$$
Mỗi độ lệch được bình phương nên độ lệch âm và dương không triệt tiêu nhau. Phương sai càng lớn thì các giá trị đại diện nhìn chung càng xa số trung bình; phương sai càng nhỏ thì chúng càng tập trung gần số trung bình. Đây là phép tính gần đúng vì ta thay mọi giá trị trong một nhóm bằng trung điểm của nhóm đó. Trong bài này, mẫu số là $n$.
Kéo thanh trượt để tăng hoặc giảm khoảng cách giữa các giá trị đại diện; quan sát phương sai thay đổi trong khi số trung bình vẫn giữ nguyên.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Hai nhóm có tần số bằng nhau
Bảng dưới đây ghi thời gian đọc sách mỗi ngày của một nhóm học sinh.
| Thời gian (phút) | $[0;4)$ | $[4;8)$ |
|---|---|---|
| Tần số | 2 | 2 |
Giá trị đại diện của hai nhóm lần lượt là $x_1=\frac{0+4}{2}=2$ và $x_2=\frac{4+8}{2}=6$.
Cỡ mẫu là $n=2+2=4$. Số trung bình gần đúng là $\overline{x}=\frac{2\cdot2+2\cdot6}{4}=4$ phút.
Tính phương sai gần đúng:
$$s^2\approx\frac{2(2-4)^2+2(6-4)^2}{4}=4\text{ phút}^2.$$
Nhận xét: Hai giá trị đại diện cách số trung bình một khoảng bằng nhau, nên độ lệch của mỗi nhóm là $2$ phút. Phương sai gần đúng bằng $4$ phút bình phương.
Ví dụ 2: Ba nhóm có tần số khác nhau
Thời gian đi đến trường của một số học sinh được tổng hợp như sau.
| Thời gian (phút) | $[0;10)$ | $[10;20)$ | $[20;30)$ |
|---|---|---|---|
| Tần số | 1 | 2 | 3 |
Các giá trị đại diện là $5$, $15$ và $25$ phút; cỡ mẫu là $n=1+2+3=6$.
Tính số trung bình gần đúng:
$$\overline{x}=\frac{1\cdot5+2\cdot15+3\cdot25}{6}=\frac{55}{3}\approx18{,}33\text{ phút}.$$
Tính phương sai gần đúng bằng tổng bình phương độ lệch:
$$s^2\approx\frac{1\left(5-\frac{55}{3}\right)^2+2\left(15-\frac{55}{3}\right)^2+3\left(25-\frac{55}{3}\right)^2}{6}=\frac{500}{9}\approx55{,}56\text{ phút}^2.$$
Có thể kiểm tra bằng công thức tương đương $s^2\approx\frac{1\cdot5^2+2\cdot15^2+3\cdot25^2}{6}-\left(\frac{55}{3}\right)^2=\frac{500}{9}$.
Nhận xét: Nhóm có giá trị đại diện $25$ phút có tần số lớn nhất, nên nhiều thời gian quan sát nằm phía trên số trung bình. Phương sai gộp độ lệch của tất cả các nhóm, có tính đến tần số từng nhóm.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
Lỗi: Dùng đầu mút của khoảng làm giá trị đại diện. Mẹo: Lấy trung điểm, tức cộng hai đầu mút rồi chia cho $2$.
Lỗi: Quên nhân bình phương độ lệch với tần số nhóm. Hãy nhớ mỗi giá trị đại diện xuất hiện $n_i$ lần.
Lỗi: Chia cho số nhóm thay vì cỡ mẫu. Mẫu số là tổng tần số $n$.
Mẹo nhớ: Tìm trung điểm nhóm, tính số trung bình, rồi lấy trung bình có trọng số của các bình phương độ lệch.
Tự kiểm tra nhanh
Giá trị đại diện của nhóm $[12;18)$ là bao nhiêu?
Mẫu có hai giá trị đại diện là $4$ và $8$, với tần số lần lượt là $1$ và $3$. Tính số trung bình và phương sai gần đúng.
Đáp án — hãy tự làm trước khi đọc:
Câu 1: $\frac{12+18}{2}=15$.
Câu 2: $\overline{x}=\frac{1\cdot4+3\cdot8}{4}=7$ và $s^2\approx\frac{1(4-7)^2+3(8-7)^2}{4}=3$.