Quy tắc nhân xác suất

Khám phá

Trong một túi có 5 viên bi xanh và 3 viên bi vàng. Bạn An lấy lần lượt 2 viên, không hoàn lại viên đã lấy. Muốn tính xác suất cả hai viên đều xanh, ta cần chú ý: sau khi viên đầu tiên màu xanh được lấy ra, số bi trong túi đã thay đổi. Vì vậy, xác suất lấy viên xanh ở lượt sau cũng thay đổi.

Ta sẽ tìm cách tính xác suất cho cả chuỗi sự kiện mà không bỏ qua điều kiện của từng lượt.

Kiến thức trọng tâm

Mô phỏng

Kéo hai thanh trượt để đổi \(P(A)\) và \(P(B\mid A)\); quan sát điểm trên đường thẳng và đọc xác suất \(A\) và \(B\) cùng xảy ra.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Hai lượt ném phạt

Một cầu thủ ghi bàn ở lượt ném thứ nhất với xác suất \(0{,}6\). Nếu đã ghi bàn ở lượt đầu, xác suất ghi bàn ở lượt thứ hai là \(0{,}8\). Tính xác suất ghi bàn cả hai lượt.

1. Gọi \(A\) là biến cố ghi bàn lượt đầu, \(B\) là biến cố ghi bàn lượt hai. Ta có \(P(A)=0{,}6\) và \(P(B\mid A)=0{,}8\).
2. Áp dụng quy tắc nhân: \(P(A\cap B)=0{,}6\cdot 0{,}8=0{,}48\).

Vậy xác suất ghi bàn cả hai lượt là \(0{,}48\).

Ví dụ 2: Lấy bi không hoàn lại

Trở lại túi có 5 viên bi xanh và 3 viên bi vàng. Tính xác suất lấy được bi xanh ở cả hai lượt.

1. Xác suất lượt đầu lấy được bi xanh là \(\frac{5}{8}\).
2. Nếu lượt đầu đã lấy bi xanh, trong túi còn 4 viên xanh trên tổng số 7 viên. Xác suất lượt hai lấy được bi xanh khi đó là \(\frac{4}{7}\).
3. Nhân hai xác suất theo thứ tự lượt lấy: $$P(\text{cả hai viên xanh})=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{5}{14}.$$

Vậy xác suất cần tìm là \(\frac{5}{14}\). Mẫu số ở lượt hai đổi vì viên đã lấy không được bỏ lại túi.

Ví dụ 3: Một chuỗi ba bước

Một sản phẩm lần lượt qua ba bước kiểm tra. Xác suất qua bước đầu là \(\frac{1}{2}\); nếu đã qua bước đầu, xác suất qua bước hai là \(\frac{2}{5}\); nếu đã qua hai bước đầu, xác suất qua bước ba là \(\frac{3}{4}\). Tính xác suất sản phẩm qua cả ba bước.

1. Gọi \(A\), \(B\), \(C\) lần lượt là biến cố qua bước thứ nhất, thứ hai, thứ ba.
2. Áp dụng quy tắc nhân theo từng bước: $$P(A\cap B\cap C)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{20}.$$

Vậy xác suất qua cả ba bước là \(\frac{3}{20}\).

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Với các lượt lấy không hoàn lại, dùng xác suất lượt đầu cho lượt sau. Mẹo: Mỗi lần có kết quả, cập nhật số lượng còn lại trước khi tính bước tiếp theo.
• Lỗi: Nhân \(P(A)\) với \(P(B)\) dù chưa biết hai biến cố độc lập. Mẹo: Trong quy tắc chung, dùng \(P(B\mid A)\).
• Mẹo nhớ: “Xác suất bước đầu” nhân “xác suất bước sau khi bước đầu đã xảy ra”. Chuỗi càng dài thì thêm xác suất có điều kiện cho từng bước tiếp theo.

Tự kiểm tra nhanh

1. Một túi có 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng. Lấy lần lượt hai viên, không hoàn lại. Xác suất cả hai viên đều đỏ bằng bao nhiêu?
2. Nếu \(P(A)=0{,}7\) và \(P(B\mid A)=0{,}6\), hãy tính \(P(A\cap B)\).
3. Ba bước liên tiếp có các xác suất thành công lần lượt là \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{5}\) khi đã thành công ở bước đầu, và \(\frac{3}{4}\) khi đã thành công ở hai bước đầu. Xác suất thành công cả ba bước là bao nhiêu?