Xác suất có điều kiện

Khám phá

Trong một hộp có các thẻ đánh số từ $1$ đến $10$. Bạn Mai rút ngẫu nhiên một thẻ. Nếu biết thẻ rút được lớn hơn $5$, xác suất thẻ đó mang số chẵn là bao nhiêu?

Thông tin “thẻ lớn hơn $5$” làm ta chỉ cần xét các thẻ $6, 7, 8, 9, 10$. Trong nhóm này có $3$ thẻ chẵn trên tổng số $5$ thẻ. Vậy xác suất cần tìm là $\frac{3}{5}$.

Mô phỏng: Thu hẹp về nhóm B

Trong mô phỏng, hãy điều chỉnh số kết quả thuộc đồng thời hai biến cố rồi quan sát xác suất khi đã thu hẹp về biến cố $B$.

Kiến thức trọng tâm

Xác suất có điều kiện của biến cố $A$ khi biết biến cố $B$ đã xảy ra, kí hiệu là $P(A\mid B)$.

Khi biết $B$ xảy ra, ta chỉ xét các kết quả thuộc $B$. Trong số đó, những kết quả thuận lợi cho $A$ chính là các kết quả thuộc $A\cap B$. Vì vậy, nếu $P(B)>0$ thì:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Nếu các kết quả đồng khả năng, có thể hiểu công thức là:

$$P(A\mid B)=\frac{\text{số kết quả thuộc cả }A\text{ và }B}{\text{số kết quả thuộc }B}.$$

Phân biệt: $P(A)$ xét toàn bộ không gian mẫu ban đầu; còn $P(A\mid B)$ chỉ xét những kết quả phù hợp với thông tin $B$ đã xảy ra. Biến cố $B$ trở thành “phạm vi đang xét”.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Rút thẻ

Rút ngẫu nhiên một thẻ trong các thẻ đánh số từ $1$ đến $10$. Gọi $A$ là biến cố “rút được số chẵn”, $B$ là biến cố “rút được số lớn hơn $5$”. Tính $P(A\mid B)$ và so sánh với $P(A)$.

Các số thuộc $B$ là $6, 7, 8, 9, 10$, nên có $5$ kết quả.
Các số vừa chẵn vừa lớn hơn $5$ là $6, 8, 10$, nên có $3$ kết quả. Do đó $P(A\mid B)=\frac{3}{5}$.
Trong toàn bộ $10$ thẻ, có $5$ thẻ chẵn, nên $P(A)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

Vậy $P(A\mid B)=\frac{3}{5}$ còn $P(A)=\frac{1}{2}$. Hai xác suất khác nhau vì chúng được tính trên những phạm vi khác nhau.

Ví dụ 2: Chọn đồ uống

Một quầy ghi nhận $24$ đơn gọi trà đào. Trong số đó, có $15$ đơn chọn ít đường. Chọn ngẫu nhiên một đơn trong $24$ đơn. Gọi $A$ là biến cố “đơn chọn ít đường”, $B$ là biến cố “đơn gọi trà đào”. Tính xác suất một đơn chọn ít đường khi biết đơn đó gọi trà đào.

Thông tin đã biết là đơn gọi trà đào, nên chỉ xét $15$ đơn trà đào ít đường và các đơn trà đào còn lại: tổng cộng $24$ đơn.
Có $15$ đơn vừa gọi trà đào vừa chọn ít đường. Vì vậy $P(A\mid B)=\frac{15}{24}=\frac{5}{8}$.
Nếu xét các đơn trong nhóm trà đào, xác suất chọn ít đường là $\frac{15}{24}$. Nếu quầy có thêm các loại đồ uống khác, xác suất chọn ít đường trong toàn bộ đơn hàng có thể khác.

Điều quan trọng là xác định đúng nhóm đơn hàng đang được xét theo điều kiện đã cho.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

Lỗi: Lấy số kết quả thuộc $A\cap B$ chia cho tổng số kết quả ban đầu. Với xác suất có điều kiện, mẫu số phải là số kết quả thuộc $B$.
Lỗi: Nhầm $P(A\mid B)$ với $P(B\mid A)$. Hai xác suất này thường không bằng nhau; hãy đọc rõ biến cố nào là điều kiện đã biết.
Mẹo nhớ: “Biết $B$ rồi” nghĩa là thu hẹp phạm vi xuống $B$; sau đó đếm phần vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$.
Chỉ dùng công thức khi $P(B)>0$, tức là điều kiện $B$ có thể xảy ra.

Tự kiểm tra nhanh

Trong một túi có $4$ viên bi xanh, $3$ viên bi vàng và $5$ viên bi đỏ. Rút ngẫu nhiên một viên. Biết viên bi không đỏ, xác suất rút được viên vàng là bao nhiêu?
Chọn ngẫu nhiên một số từ $1$ đến $12$. Gọi $A$ là biến cố “số được chọn chia hết cho $3$”, $B$ là biến cố “số được chọn không vượt quá $8$”. Tính $P(A\mid B)$.
Nếu $P(A)=\frac{1}{3}$ và $P(A\mid B)=\frac{1}{2}$, hai xác suất này có được tính trên cùng phạm vi kết quả không?

Đáp án

Không đỏ có $7$ viên; trong đó có $3$ viên vàng. Xác suất là $\frac{3}{7}$.
Các số thuộc $B$ là $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$; có $2$ số chia hết cho $3$. Vậy $P(A\mid B)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.
Không. $P(A)$ xét phạm vi ban đầu, còn $P(A\mid B)$ chỉ xét các kết quả thuộc $B$.