Cộng và trừ số hữu tỉ

Khám phá

Buổi sáng, nhiệt độ ở một điểm cắm trại là $\frac{2}{5}^{\circ}\mathrm{C}$. Đến chiều, nhiệt độ giảm $\frac{3}{4}^{\circ}\mathrm{C}$. Nhiệt độ lúc chiều là bao nhiêu?

Ta cần tính $\frac{2}{5}-\frac{3}{4}$. Hai phân số chưa cùng mẫu, nên trước hết ta quy đồng. Kết quả âm có nghĩa là nhiệt độ lúc chiều thấp hơn $0^{\circ}\mathrm{C}$.

Kiến thức trọng tâm

Cộng hai số hữu tỉ: Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng mẫu số khác $0$. Sau khi quy đồng để có mẫu chung $m$ với $m\ne 0$, ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu:

$$\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$$

Nếu hai phân số ban đầu chưa cùng mẫu, hãy quy đồng trước rồi mới cộng. Có thể rút gọn kết quả nếu cần.

Trừ hai số hữu tỉ: Muốn trừ một số, ta cộng với số đối của số đó. Số đối của $y$ là $-y$:

$$x-y=x+(-y)$$

Sau khi đổi phép trừ thành phép cộng, quy đồng nếu cần rồi tính như phép cộng.

Thứ tự tính: Tính trong ngoặc trước. Nếu biểu thức chỉ có phép cộng và phép trừ, không có ngoặc, ta tính từ trái sang phải vì hai phép tính này có cùng thứ tự ưu tiên.

Mô phỏng: Trừ trên trục số

Hãy giữ điểm bắt đầu ở $\frac{2}{5}$, quan sát đoạn dịch sang trái khi trừ $\frac{3}{4}$, rồi thử kéo điểm để xem kết quả thay đổi thế nào.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Cộng hai số hữu tỉ

Tính $-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}$.

Bước 1. Quy đồng: $-\frac{2}{3}=-\frac{4}{6}$.

Bước 2. Cộng các tử số, giữ nguyên mẫu chung:

$$-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=-\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{-4+5}{6}=\frac{1}{6}$$

Ví dụ 2: Trừ hai số hữu tỉ và quy đồng

Tính $\frac{2}{5}-\frac{3}{4}$.

Bước 1. Mẫu chung của $5$ và $4$ là $20$. Quy đồng hai phân số:

$$\frac{2}{5}=\frac{8}{20},\qquad \frac{3}{4}=\frac{15}{20}$$

Bước 2. Trừ các tử số và giữ nguyên mẫu chung:

$$\frac{2}{5}-\frac{3}{4}=\frac{8}{20}-\frac{15}{20}=\frac{8-15}{20}=-\frac{7}{20}$$

Kết quả âm hợp lý: từ $\frac{2}{5}$ mà giảm thêm $\frac{3}{4}$ thì ta đi qua $0$ và đến vị trí bên trái $0$ trên trục số.

Ví dụ 3: Tính biểu thức

Tính $\frac{3}{4}-\left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{5}{6}\right)$.

Bước 1. Đổi phép trừ số âm thành phép cộng số đối:

$$\frac{3}{4}-\left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{5}{6}\right)=\frac{3}{4}+\frac{2}{3}-\frac{5}{6}$$

Bước 2. Quy đồng mẫu số thành $12$ rồi tính từ trái sang phải:

$$\frac{9}{12}+\frac{8}{12}-\frac{10}{12}=\frac{9+8-10}{12}=\frac{7}{12}$$

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

Không cộng hoặc trừ mẫu số. Khi hai phân số đã cùng mẫu, chỉ cộng hoặc trừ các tử số; giữ nguyên mẫu chung.
Dễ nhầm dấu khi trừ số âm. Hãy nhớ: trừ là cộng số đối, nên $a-(-b)=a+b$.
Mẹo kiểm tra dấu: Trên trục số, cộng số dương thì đi sang phải; cộng số âm thì đi sang trái. Trừ một số dương tương đương cộng số âm.
Mẹo tính biểu thức: Xử lý ngoặc trước; nếu chỉ có cộng và trừ thì tính từ trái sang phải. Viết lại phép trừ thành phép cộng số đối trước khi quy đồng để tránh nhầm dấu.

Tự kiểm tra nhanh

Tự làm các câu sau trước khi xem đáp án ở cuối bài.

Tính $\frac{1}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)$.
Tính $\frac{7}{8}-\frac{1}{3}$.
Tính $-\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}$.

Đáp án

Câu 1: $\frac{1}{3}-\frac{5}{6}=\frac{2}{6}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{2}$.

Câu 2: $\frac{7}{8}-\frac{1}{3}=\frac{21}{24}-\frac{8}{24}=\frac{13}{24}$.

Câu 3: $-\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=-\frac{3}{12}+\frac{8}{12}-\frac{2}{12}=\frac{1}{4}$.