Dãy tỉ số bằng nhau

Khám phá

Trong buổi làm vườn ở trường, nhóm Linh trồng $6$ cây húng quế trên $9$ mét luống. Nhóm Khôi trồng $10$ cây trên $15$ mét luống. Hai nhóm có trồng với mật độ như nhau không?

Ta có $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ và $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$. Vậy số cây trên mỗi mét luống của hai nhóm bằng nhau. Ta có thể viết các tỉ số ấy trong cùng một dãy: $\frac{6}{9}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$. Giá trị chung của các tỉ số là $\frac{2}{3}$.

Kiến thức trọng tâm

Dãy tỉ số bằng nhau

Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ và $\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$, ta có thể viết gọn thành $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$, trong đó $k$ là giá trị chung của các tỉ số.

Ví dụ: $\frac{6}{9}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$ là một dãy tỉ số bằng nhau, với giá trị chung $k=\frac{2}{3}$.

Điều kiện: Các mẫu số ban đầu $b,d,f$ phải khác $0$. Khi dùng tính chất tổng hoặc hiệu, mẫu số mới cũng phải khác $0$.

Tính chất tổng: Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$ và $b+d+f\ne 0$, thì

$$\frac{a+c+e}{b+d+f}=k.$$

Tính chất hiệu: Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ và $b-d\ne 0$, thì

$$\frac{a-c}{b-d}=k.$$

Có thể áp dụng tương tự cho các cặp tỉ số khác trong dãy, miễn là mẫu số mới khác $0$. Ta cộng hoặc trừ các tử theo đúng thứ tự tương ứng với các mẫu.

Cách tìm số chưa biết: Đặt các tỉ số bằng nhau cùng bằng $k$. Dùng tổng hoặc hiệu đã biết để tìm $k$, rồi thay $k$ vào từng tỉ số để tìm các số cần tìm. Cuối cùng, thử lại với điều kiện đề bài.

Mô phỏng: Cây trên luống

Kéo thanh trượt đến $k=3$, $k=5$ rồi $k=8$ để lần lượt xem hai nhóm và tổng hai nhóm; quan sát số cây, độ dài luống và tỉ số của chúng.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Viết các tỉ số thành một dãy

Viết các tỉ số $\frac{12}{18}$, $\frac{10}{15}$ và $\frac{8}{12}$ thành một dãy tỉ số bằng nhau.

Bước 1: Rút gọn từng tỉ số: $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$, $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$ và $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.

Bước 2: Vì các tỉ số đều bằng $\frac{2}{3}$, ta viết:

$$\frac{12}{18}=\frac{10}{15}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.$$

Ví dụ 2: Tìm ba số khi biết tổng

Biết $\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}$ và $x+y+z=45$. Tìm $x$, $y$, $z$.

Bước 1: Đặt giá trị chung là $k$. Khi đó $x=3k$, $y=5k$ và $z=7k$.

Bước 2: Dùng tính chất tổng:

$$\frac{x+y+z}{3+5+7}=k.$$

Thay $x+y+z=45$, ta được $k=\frac{45}{15}=3$. Mẫu số mới là $15$, khác $0$, nên phép tính hợp lệ.

Bước 3: Thay $k=3$ vào các biểu thức đã lập: $x=3\cdot 3=9$, $y=5\cdot 3=15$, $z=7\cdot 3=21$.

Thử lại: $\frac{9}{3}=\frac{15}{5}=\frac{21}{7}=3$ và $9+15+21=45$. Vậy các số cần tìm là $x=9$, $y=15$, $z=21$.

Ví dụ 3: Tìm hai số khi biết tổng

Biết $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$ và $x+y=25$. Tìm $x$ và $y$.

Bước 1: Đặt $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=k$. Suy ra $x=2k$ và $y=3k$.

Bước 2: Áp dụng tính chất tổng: $\frac{x+y}{2+3}=k$. Thay $x+y=25$, ta được $k=\frac{25}{5}=5$.

Bước 3: Tính $x=2\cdot 5=10$ và $y=3\cdot 5=15$.

Thử lại: $\frac{10}{2}=\frac{15}{3}=5$ và $10+15=25$. Vậy $x=10$, $y=15$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

Lỗi: Quên kiểm tra mẫu số. Mỗi mẫu số của tỉ số ban đầu phải khác $0$; mẫu số mới tạo thành từ tổng hoặc hiệu cũng phải khác $0$.
Lỗi: Cộng tử của tỉ số này với mẫu của tỉ số khác. Hãy cộng tử với tử, mẫu với mẫu theo đúng thứ tự tương ứng.
Mẹo: Đặt các tỉ số bằng nhau cùng bằng $k$ để nhìn ra quan hệ như $x=2k$ hoặc $y=3k$.
Mẹo: Tìm được $k$ chưa phải là xong. Hãy thay lại để tính từng số và thử lại điều kiện ban đầu.

Tự kiểm tra nhanh

Ba tỉ số $\frac{4}{6}$, $\frac{10}{15}$, $\frac{14}{21}$ có lập thành một dãy tỉ số bằng nhau không? Giá trị chung là bao nhiêu?
Biết $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$ và $x+y=25$. Tìm $x$ và $y$.
Nếu $\frac{a}{4}=\frac{b}{6}=2$, hãy tính $a+b$.

Đáp án tự kiểm tra

Hãy tự làm trước rồi mới xem phần này.

Có. Các tỉ số đều bằng $\frac{2}{3}$.
$x=10$, $y=15$.
$a=8$, $b=12$, nên $a+b=20$.