Tính chất tỉ lệ thức và tìm số chưa biết

Khám phá: Pha màu cho ngày hội

Nhóm An pha màu xanh theo công thức: cứ có $2$ phần màu vàng thì dùng $3$ phần màu lam. Nhóm Bình đang có $3$ phần màu vàng và $4$ phần màu lam. Hai hỗn hợp đã cùng tỉ lệ chưa?

Muốn giữ đúng tỉ lệ của nhóm An, khi có $3$ phần màu vàng, nhóm Bình cần dùng $x$ phần màu lam sao cho $\frac{2}{3}=\frac{3}{x}$. Nhân chéo được $2x=9$, nên $x=4{,}5$. Nhóm Bình hiện có $4$ phần màu lam, ít hơn lượng cần có $0{,}5$ phần. Vì vậy, hai hỗn hợp hiện tại chưa cùng tỉ lệ.

Hãy kéo thanh trượt đến khi hai đường trên đồ thị gặp nhau. Quan sát giá trị của $x$ và hai tích chéo để kiểm tra lượng màu lam cần dùng.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Tìm một số chưa biết

Tìm $x$ biết $\frac{8}{14}=\frac{x}{35}$.

1. Nhân chéo: $8\cdot 35=14x$.
2. Tính tích: $280=14x$.
3. Chia hai vế cho $14$: $x=20$.
4. Kiểm tra: $\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$ và $\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$. Vậy $x=20$.

Ví dụ 2: Dùng tính chất cộng và trừ

Biết $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$. Hãy lập một tỉ lệ thức mới bằng cách cộng các tử số và mẫu số tương ứng, rồi lập một tỉ lệ thức mới bằng cách trừ chúng.

1. Cộng tử số và mẫu số tương ứng: $\frac{2+4}{3+6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
2. Trừ tử số và mẫu số tương ứng: $\frac{2-4}{3-6}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$.
3. Các mẫu số mới đều khác $0$, nên hai phép biến đổi đều hợp lệ. Kết quả vẫn bằng tỉ số ban đầu.

Ví dụ 3: Kết nối hai tỉ lệ thức

Ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$, $\frac{y}{z}=\frac{3}{4}$ và $x+z=30$. Tìm $x,y,z$.

1. Từ $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$, đặt $x=2k$, $y=3k$ với $k>0$.
2. Từ $\frac{y}{z}=\frac{3}{4}$, đặt $y=3m$, $z=4m$ với $m>0$.
3. Cùng là số $y$ nên $3k=3m$, suy ra $k=m$. Do đó $x=2k$, $y=3k$, $z=4k$.
4. Dùng điều kiện tổng: $x+z=2k+4k=30$, nên $6k=30$ và $k=5$.
5. Suy ra $x=10$, $y=15$, $z=20$. Kiểm tra: $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$, $\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$ và $10+20=30$. Vậy bộ ba cần tìm là $x=10$, $y=15$, $z=20$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Nhân chéo sai vị trí. Với $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, hãy viết rõ $ad=bc$ trước khi tính.
• Lỗi: Cộng hoặc trừ tử số mà không làm tương ứng với mẫu số. Tính chất cộng, trừ tác động đồng thời lên cả tử và mẫu.
• Lỗi: Chia cho một số có thể bằng $0$. Trước khi chia, hãy kiểm tra số đó khác $0$.
• Mẹo nhớ: “Hai đầu nhân nhau, hai giữa nhân nhau”; tìm xong thì thay lại để kiểm tra.
• Mẹo làm bài nhiều bước: Ghi lại số chung xuất hiện trong các tỉ lệ thức, rồi mới dùng điều kiện về tổng hoặc hiệu.

Tự kiểm tra nhanh

1. Hai tỉ số $\frac{3}{5}$ và $\frac{9}{15}$ có lập thành tỉ lệ thức không? Vì sao?
2. Tìm $x$ biết $\frac{x}{12}=\frac{5}{8}$.
3. Biết $\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$ và $a+b=35$. Tìm $a$ và $b$.