Diện tích xung quanh hình chóp đều

Khám phá: Gấp một chiếc chụp đèn giấy

Linh muốn làm một chiếc chụp đèn có dạng hình chóp đều đáy vuông. Bạn ấy mở hình chóp ra thành một hình khai triển: ở giữa là một hình vuông, xung quanh là bốn tam giác cân giống nhau.

Nếu muốn dán giấy lên các mặt bên, Linh cần biết diện tích của bốn tam giác. Có cách nào tính nhanh mà không phải cộng từng mặt một?

Mô phỏng: Mở hình chóp đều đáy vuông

Quan sát hình mô phỏng: hình vuông ở giữa là đáy, các tam giác xung quanh là mặt bên; đoạn nét đứt trong mỗi tam giác biểu diễn trung đoạn.

Kiến thức trọng tâm

Diện tích xung quanh của hình chóp đều là tổng diện tích các mặt bên. Không tính diện tích mặt đáy.

Mỗi mặt bên là một tam giác cân. Đường cao của tam giác bên, kẻ từ đỉnh mặt bên xuống trung điểm cạnh đáy tương ứng, gọi là trung đoạn của hình chóp đều. Kí hiệu trung đoạn là $d$.

Gọi $p$ là chu vi đáy. Vì các mặt bên bằng nhau, diện tích xung quanh bằng tổng diện tích các tam giác bên:

$$S_{xq}=\frac{1}{2}pd$$

Trong đó, $S_{xq}$ là diện tích xung quanh, $p$ là chu vi đáy và $d$ là trung đoạn. Nhớ dùng cùng một đơn vị độ dài; kết quả diện tích có đơn vị vuông.

Vì sao có công thức này? Mỗi mặt bên có diện tích bằng một nửa cạnh đáy nhân với trung đoạn. Cộng các mặt bên, ta được một nửa trung đoạn nhân với tổng độ dài các cạnh đáy. Tổng đó chính là chu vi đáy $p$.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Tính diện tích từng mặt bên

Một hình chóp đều đáy vuông có cạnh đáy $4\text{ cm}$ và trung đoạn $3\text{ cm}$. Tính diện tích một mặt bên.

Mặt bên là tam giác có đáy $4\text{ cm}$ và chiều cao $3\text{ cm}$.
Diện tích mặt bên là $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3=6\text{ cm}^{2}$.

Đáp số: $6\text{ cm}^{2}$.

Ví dụ 2: Dùng chu vi đáy và trung đoạn

Vẫn hình chóp đều đáy vuông có cạnh đáy $4\text{ cm}$, trung đoạn $3\text{ cm}$. Tính diện tích xung quanh.

Chu vi đáy là $p=4\cdot 4=16\text{ cm}$.
Áp dụng công thức: $S_{xq}=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 3=24\text{ cm}^{2}$.
Kiểm tra bằng cách cộng bốn mặt bên: $4\cdot 6=24\text{ cm}^{2}$.

Đáp số: $24\text{ cm}^{2}$. Diện tích mặt đáy không được cộng vào kết quả này.

Ví dụ 3: Đáy là hình lục giác đều

Một hình chóp đều có đáy là hình lục giác đều cạnh $3\text{ cm}$ và trung đoạn $5\text{ cm}$. Tính diện tích xung quanh.

Đáy có sáu cạnh nên chu vi là $p=6\cdot 3=18\text{ cm}$.
Diện tích xung quanh là $S_{xq}=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 5=45\text{ cm}^{2}$.

Đáp số: $45\text{ cm}^{2}$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

Đừng cộng mặt đáy: diện tích xung quanh chỉ gồm các mặt bên.
Đừng nhầm trung đoạn với chiều cao hình chóp: trung đoạn nằm trên mặt bên và là đường cao của tam giác bên.
Đừng quên chu vi đáy: với đáy đều có cạnh dài $a$ và $n$ cạnh, $p=n\cdot a$.
Mẹo nhớ: “Nửa chu vi đáy nhân trung đoạn” — $S_{xq}=\frac{1}{2}pd$.
Trên hình khai triển, tìm đa giác ở giữa để nhận ra đáy; các tam giác gắn quanh đáy là mặt bên. Đoạn vuông góc từ đỉnh tam giác đến cạnh đáy của tam giác là trung đoạn.

Tự kiểm tra nhanh

Trên hình khai triển hình chóp đều, phần nào là mặt đáy?
Một hình chóp đều có chu vi đáy $20\text{ cm}$ và trung đoạn $4\text{ cm}$. Diện tích xung quanh bằng bao nhiêu?
Trung đoạn là chiều cao của mặt bên hay chiều cao của hình chóp?

Đáp án — chỉ xem sau khi tự làm

Đa giác ở giữa hình khai triển là mặt đáy; các tam giác xung quanh là mặt bên.
$S_{xq}=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 4=40\text{ cm}^{2}$.
Trung đoạn là chiều cao của mặt bên tam giác.