Định lí đảo Pythagore

Khám phá

Lan muốn làm một khung trang trí hình tam giác bằng ba thanh tre dài lần lượt $5$ cm, $12$ cm và $13$ cm. Không dùng ê-ke, Lan có thể kiểm tra khung có vuông góc ở một góc hay không bằng cách nào?

Ta sẽ xem độ dài các thanh có thể cho biết điều đó không.

Mô phỏng: Ba cạnh có tạo góc vuông?

Thử thay đổi các độ dài trên mô phỏng. Giữ $c$ là cạnh dài nhất và chọn bộ ba tạo thành tam giác; quan sát hai đường ngang có trùng nhau hay không.

Kiến thức trọng tâm

Định lí Pythagore: Nếu một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài $a$, $b$ và cạnh huyền dài $c$, thì $c^{2}=a^{2}+b^{2}$.

Định lí đảo Pythagore: Nếu một tam giác có cạnh dài nhất là $c$ và hai cạnh còn lại dài $a$, $b$, đồng thời $c^{2}=a^{2}+b^{2}$, thì tam giác đó vuông. Cạnh dài nhất $c$ là cạnh huyền; góc đối diện với cạnh ấy là góc vuông.

Phân biệt: Định lí Pythagore bắt đầu từ việc đã biết tam giác vuông để tính cạnh. Định lí đảo bắt đầu từ ba độ dài cạnh để kiểm tra tam giác có vuông hay không.

Trình tự kiểm tra: Kiểm tra ba độ dài có tạo thành tam giác; chọn cạnh dài nhất làm ứng viên cạnh huyền; so sánh bình phương cạnh đó với tổng bình phương hai cạnh kia.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Bộ ba cạnh tạo thành tam giác vuông

Kiểm tra các cạnh dài $5$ cm, $12$ cm và $13$ cm có tạo thành tam giác vuông không.

Cạnh dài nhất là $13$ cm. Ba độ dài tạo thành tam giác vì $5+12>13$.
Tính bình phương cạnh dài nhất: $13^{2}=169$.
Tính tổng bình phương hai cạnh còn lại: $5^{2}+12^{2}=25+144=169$.
Hai kết quả bằng nhau. Theo định lí đảo Pythagore, tam giác vuông. Cạnh huyền dài $13$ cm.

Ví dụ 2: Bộ ba cạnh không tạo thành tam giác vuông

Kiểm tra các cạnh dài $5$ cm, $6$ cm và $8$ cm.

Cạnh dài nhất là $8$ cm. Ba độ dài tạo thành tam giác vì $5+6>8$.
Tính bình phương cạnh dài nhất: $8^{2}=64$.
Tính tổng bình phương hai cạnh kia: $5^{2}+6^{2}=25+36=61$.
Vì $64\ne61$, tam giác không vuông.

Ví dụ 3: Chọn đúng cạnh để kiểm tra

Một tam giác có các cạnh dài $24$ cm, $7$ cm và $25$ cm. Tam giác có vuông không, và cạnh nào là cạnh huyền?

Cạnh dài nhất là $25$ cm. Ba độ dài tạo thành tam giác vì $7+24>25$.
So sánh: $25^{2}=625$ và $7^{2}+24^{2}=49+576=625$.
Hai kết quả bằng nhau nên tam giác vuông theo định lí đảo Pythagore. Cạnh huyền dài $25$ cm.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

Lỗi: Bình phương tùy ý một cạnh. Mẹo: Chọn cạnh dài nhất trước; chỉ cạnh đó mới là ứng viên cạnh huyền.
Lỗi: Nhầm hai định lí. Mẹo: Đã biết tam giác vuông thì dùng định lí Pythagore; cần kiểm tra tam giác có vuông không thì dùng định lí đảo.
Lỗi: Thấy đẳng thức đúng là kết luận ngay, dù ba độ dài không tạo thành tam giác. Mẹo: Kiểm tra điều kiện tạo thành tam giác trước.
Lỗi: Tính tổng các cạnh thay vì tổng bình phương. Mẹo: So sánh bình phương cạnh dài nhất với tổng bình phương hai cạnh còn lại.

Tự kiểm tra nhanh

Ba độ dài $9$ cm, $12$ cm, $15$ cm có tạo thành tam giác vuông không? Nếu có, cạnh huyền dài bao nhiêu?
Ba độ dài $4$ cm, $5$ cm, $7$ cm có tạo thành tam giác vuông không?
Nếu đã biết một tam giác vuông và biết hai cạnh góc vuông, dùng định lí nào để tìm cạnh huyền?

Đáp án — hãy tự làm trước khi xem:

Có, vì $9+12>15$ và $15^{2}=9^{2}+12^{2}=225$. Cạnh huyền dài $15$ cm.
Ba cạnh tạo thành tam giác vì $4+5>7$. Nhưng $7^{2}=49$ còn $4^{2}+5^{2}=41$, nên tam giác không vuông.
Dùng định lí Pythagore.