Định lí đảo Thales

Khám phá

Vườn trường của lớp An có dạng tam giác. Trên hai cạnh xuất phát từ góc vườn, lớp đánh dấu hai điểm để căng một sợi dây nối chúng. Làm thế nào biết sợi dây đó có song song với cạnh còn lại của khu vườn mà không cần đo góc?

Ta có thể so sánh các đoạn thẳng trên hai cạnh. Hãy thử quan sát hình động trước nhé.

Kéo điểm E dọc theo cạnh AC. Quan sát hai tỉ số hiện ra; thử đưa chúng về bằng nhau rồi kiểm tra vị trí của DE so với BC.

Kiến thức trọng tâm

Vì sao định lí đúng?

Qua D, kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại E'. Theo định lí Thales, ta có $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE'}{AC}.$$

Nhưng giả thiết cũng cho $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.$$ Vì vậy $$AE'=AE.$$ Hai điểm E và E' cùng nằm trên cạnh AC, cùng cách A một khoảng bằng nhau nên trùng nhau. Do đó DE chính là đường thẳng song song với BC.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: So sánh hai tỉ số

Trong tam giác ABC, D nằm trên AB, E nằm trên AC. Biết AB = $15\,\mathrm{cm}$, AC = $20\,\mathrm{cm}$, AD = $9\,\mathrm{cm}$, AE = $12\,\mathrm{cm}$. Chứng minh DE song song với BC.

1. Tính tỉ số trên cạnh AB: $$\frac{AD}{AB}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.$$

2. Tính tỉ số trên cạnh AC: $$\frac{AE}{AC}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}.$$

3. Hai tỉ số bằng nhau. Theo định lí đảo Thales, $$DE\parallel BC.$$

Ví dụ 2: Dùng các đoạn còn lại

Trong tam giác MNP, X nằm trên MN, Y nằm trên MP. Biết MX = $6\,\mathrm{cm}$, XN = $4\,\mathrm{cm}$, MY = $9\,\mathrm{cm}$, YP = $6\,\mathrm{cm}$. Chứng minh XY song song với NP.

1. So sánh các đoạn trên hai cạnh: $$\frac{MX}{XN}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\qquad \frac{MY}{YP}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.$$

2. Hai tỉ số tương ứng bằng nhau. Áp dụng định lí đảo Thales, $$XY\parallel NP.$$

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Ghép sai đoạn tương ứng: Tử số ở hai tỉ số phải cùng là các đoạn tính từ đỉnh chung, hoặc cùng là các đoạn còn lại. Hãy xác định đỉnh chung trước khi lập tỉ số.

• Quên điều kiện vị trí: Cần xác định D, E nằm trên hai cạnh của cùng một tam giác như giả thiết.

• Mẹo nhớ: Tỉ số hai đoạn tương ứng bằng nhau thì đường nối hai điểm chia cạnh song song với cạnh thứ ba.

Tự kiểm tra nhanh

1. Trong tam giác ABC, D nằm trên AB, E nằm trên AC. Nếu $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},$$ ta kết luận được điều gì?

2. Biết $$\frac{AD}{DB}=\frac{5}{3}$$ và $$\frac{AE}{EC}=\frac{10}{6}.$$ Có thể dùng định lí đảo Thales để kết luận DE song song với BC không?

3. Nêu một điều cần kiểm tra trước khi dùng các tỉ số để chứng minh hai đường thẳng song song theo định lí đảo Thales.