Định lí Thales

Khám phá

Hãy tưởng tượng khu vườn hình tam giác $ABC$. Người ta làm lối đi $DE$ song song với cạnh $BC$, trong đó $D$ nằm trên $AB$ và $E$ nằm trên $AC$. Lối đi ấy chia hai cạnh của khu vườn thành những đoạn có liên hệ với nhau. Nếu biết một vài độ dài, ta có thể tìm những đoạn còn lại mà không cần đo trực tiếp.

Kéo điểm $C$ để thay đổi hình tam giác. Quan sát $DE$ luôn song song với $BC$ và so sánh hai tỉ số được hiển thị.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Tìm một đoạn trên cạnh

Trong tam giác $ABC$, có $DE \parallel BC$, $D$ thuộc $AB$, $E$ thuộc $AC$. Biết $AD=8$ cm, $AB=12$ cm và $AC=9$ cm. Tính $AE$.

1. Vì $DE \parallel BC$, theo định lí Thales: $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
2. Thay số: $\frac{8}{12}=\frac{AE}{9}$.
3. Suy ra $AE=9 \cdot \frac{8}{12}=6$ cm.

Đáp số: $AE=6$ cm.

Ví dụ 2: Tìm đoạn còn lại trên cạnh

Trong tam giác $ABC$, có $DE \parallel BC$, $D$ thuộc $AB$, $E$ thuộc $AC$. Biết $AD=6$ cm, $AB=15$ cm và $AC=20$ cm. Tính $AE$ và $EC$.

1. Lập tỉ lệ theo hai cạnh: $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
2. Thay số: $\frac{6}{15}=\frac{AE}{20}$, nên $AE=20 \cdot \frac{6}{15}=8$ cm.
3. Vì $E$ nằm giữa $A$ và $C$, ta có $EC=AC-AE=20-8=12$ cm.

Đáp số: $AE=8$ cm và $EC=12$ cm.

Ví dụ 3: Dùng các đoạn bị chia

Trong tam giác $ABC$, có $DE \parallel BC$, $D$ thuộc $AB$, $E$ thuộc $AC$. Biết $AD=4$ cm, $DB=6$ cm và $AE=8$ cm. Tính $EC$.

1. Dùng tỉ số các đoạn tương ứng trên hai cạnh: $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$.
2. Thay số: $\frac{4}{6}=\frac{8}{EC}$.
3. Nhân chéo: $4 \cdot EC=6 \cdot 8$, nên $EC=12$ cm.

Đáp số: $EC=12$ cm.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Ghép nhầm các đoạn không tương ứng. Mẹo: Viết theo đúng thứ tự từ đỉnh chung: $AD$ đi với $AE$, còn $DB$ đi với $EC$.
• Lỗi: Dùng định lí khi chưa xác định đường song song. Hãy kiểm tra đủ điều kiện $DE \parallel BC$.
• Lỗi: Nhầm độ dài cả cạnh với một đoạn của cạnh. Nếu cần, ghi rõ $AB=AD+DB$ và $AC=AE+EC$.
• Mẹo nhớ: Đường song song tạo ra những đoạn tương ứng tỉ lệ; chọn tỉ số nào giúp phép tính gọn và rõ nhất.

Tự kiểm tra nhanh

1. Trong tam giác $ABC$, nếu $DE \parallel BC$, hãy viết một tỉ lệ thức nối các đoạn trên $AB$ và $AC$.
2. Nếu $DE \parallel BC$, $AD=5$ cm, $AB=10$ cm, $AC=14$ cm, thì $AE$ bằng bao nhiêu?
3. Nếu $DE \parallel BC$, $AD=3$ cm, $DB=5$ cm, $AE=6$ cm, thì $EC$ bằng bao nhiêu?