Khái niệm tam giác đồng dạng

Khám phá

Lan chụp hình một tấm biển tam giác ở sân trường rồi phóng to ảnh để làm áp phích. Hình mới lớn hơn, nhưng vẫn giữ nguyên dáng của tấm biển. Điều gì khiến ta nhận ra hai hình tam giác ấy “cùng dáng”?

Hãy quan sát các góc và độ dài cạnh: nếu góc tương ứng bằng nhau, còn các cạnh tương ứng cùng tăng theo một tỉ lệ, hai tam giác có quan hệ đặc biệt.

Thử kéo đỉnh C. Quan sát hai tam giác và so sánh các góc, cũng như tỉ số giữa từng cặp cạnh tương ứng.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Kiểm tra hai tam giác có đồng dạng không

Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $AB=6$, $BC=8$, $CA=10$; tam giác $DEF$ có các cạnh $DE=9$, $EF=12$, $FD=15$. Biết các góc tương ứng bằng nhau. Hai tam giác có đồng dạng không?

1. Ghép các cạnh theo thứ tự góc đã cho: $AB$ với $DE$, $BC$ với $EF$, $CA$ với $FD$.
2. Tính các tỉ số: $\frac{AB}{DE}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$, $\frac{BC}{EF}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$, $\frac{CA}{FD}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$.
3. Các cạnh tương ứng tỉ lệ và các góc tương ứng bằng nhau, nên $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. Tỉ số đồng dạng là $\frac{2}{3}$.

Ví dụ 2: Đọc đúng đỉnh tương ứng

Cho $\triangle MNP \sim \triangle XYZ$, với $MN=5$, $XY=10$, $NP=7$. Hãy tìm cạnh tương ứng với $NP$ và tính tỉ số đồng dạng theo thứ tự đã viết.

1. Đối chiếu vị trí các chữ cái: $M \leftrightarrow X$, $N \leftrightarrow Y$, $P \leftrightarrow Z$.
2. Vậy cạnh $NP$ tương ứng với cạnh $YZ$.
3. Tỉ số đồng dạng là $\frac{MN}{XY}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. Do đó các cạnh tương ứng của tam giác thứ nhất bằng một nửa các cạnh tương ứng của tam giác thứ hai.

Ví dụ 3: Khi đề bài cho các cặp góc

Trong hai tam giác $ABC$ và $PQR$, biết $\widehat{A}=\widehat{R}$, $\widehat{B}=\widehat{P}$ và $\widehat{C}=\widehat{Q}$. Hãy viết thứ tự đồng dạng và các tỉ số cạnh tương ứng.

1. Ghi các cặp đỉnh: $A \leftrightarrow R$, $B \leftrightarrow P$, $C \leftrightarrow Q$.
2. Viết theo đúng thứ tự đó: $\triangle ABC \sim \triangle RPQ$.
3. Các cạnh tương ứng là $AB$ với $RP$, $BC$ với $PQ$, $CA$ với $QR$. Vì thế: $\frac{AB}{RP}=\frac{BC}{PQ}=\frac{CA}{QR}$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Ghép cạnh chỉ vì tên cạnh có chữ giống nhau. Mẹo: Ghép đỉnh trước, rồi mới ghép cạnh nối các đỉnh tương ứng.
• Lỗi: Đảo lẫn thứ tự khi lập tỉ số. Nếu lấy cạnh tam giác thứ nhất ở tử số, hãy giữ cách đó cho mọi phân số.
• Mẹo nhớ: Đọc kí hiệu đồng dạng theo cặp chữ đứng cùng vị trí; mỗi cạnh ứng với cạnh nối hai đỉnh tương ứng.

Tự kiểm tra nhanh

1. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, đỉnh nào tương ứng với $B$?
2. Nếu $\triangle KLM \sim \triangle RST$, cạnh $LM$ tương ứng với cạnh nào?
3. Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau và ba tỉ số cạnh tương ứng cùng bằng $\frac{3}{5}$. Tỉ số đồng dạng theo thứ tự tam giác thứ nhất so với tam giác thứ hai là bao nhiêu?