Trường hợp đồng dạng góc - góc

Khám phá

Lan vẽ hai mũi tên trang trí có dạng tam giác. Bạn ấy đo được một tam giác có hai góc lần lượt là $48^{\circ}$ và $67^{\circ}$; tam giác kia cũng có hai góc bằng đúng các số đo ấy. Dù hai hình có thể to nhỏ khác nhau, liệu chúng có cùng hình dạng không?

Hãy nhớ: tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$. Vậy góc còn lại của mỗi tam giác là $180^{\circ}-48^{\circ}-67^{\circ}=65^{\circ}$. Cả ba góc tương ứng bằng nhau, nên hai tam giác cùng hình dạng.

Kéo đỉnh của tam giác để đổi hình dạng; quan sát các góc tương ứng và tỉ số giữa những cạnh tương ứng.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Nhận biết hai tam giác đồng dạng

Trong hai tam giác $ABC$ và $DEF$, biết $\widehat{A}=52^{\circ}$, $\widehat{B}=71^{\circ}$, $\widehat{D}=52^{\circ}$ và $\widehat{E}=71^{\circ}$. Hỏi hai tam giác có đồng dạng không?

1. Ta có $\widehat{A}=\widehat{D}$ và $\widehat{B}=\widehat{E}$.
2. Đây là hai cặp góc tương ứng bằng nhau.
3. Theo trường hợp đồng dạng góc – góc, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Góc còn lại mỗi tam giác bằng $180^{\circ}-52^{\circ}-71^{\circ}=57^{\circ}$, phù hợp với kết luận trên.

Ví dụ 2: Tìm độ dài cạnh tương ứng

Biết $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, $AB=6\text{ cm}$, $DE=9\text{ cm}$ và $BC=8\text{ cm}$. Tìm $EF$.

1. Theo thứ tự đồng dạng, cạnh $AB$ tương ứng với $DE$, còn $BC$ tương ứng với $EF$.
2. Lập tỉ số: $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$.
3. Thay số: $\frac{6}{9}=\frac{8}{EF}$, nên $EF=\frac{8\cdot 9}{6}=12\text{ cm}$.

Vậy $EF=12\text{ cm}$. Tam giác $DEF$ lớn hơn tam giác $ABC$ theo tỉ lệ $\frac{9}{6}=1{,}5$.

Ví dụ 3: Tính cạnh khi biết tỉ lệ phóng to

Biết $\triangle PQR \sim \triangle XYZ$, $PQ=10\text{ cm}$, $XY=15\text{ cm}$ và $QR=7\text{ cm}$. Tìm $YZ$.

1. Theo thứ tự đồng dạng, $PQ$ tương ứng với $XY$, còn $QR$ tương ứng với $YZ$.
2. Tỉ lệ từ tam giác $PQR$ sang tam giác $XYZ$ là $\frac{XY}{PQ}=\frac{15}{10}=1{,}5$.
3. Do đó $YZ=QR\cdot 1{,}5=7\cdot 1{,}5=10{,}5\text{ cm}$.

Vậy $YZ=10{,}5\text{ cm}$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Ghép hai cạnh không tương ứng khi lập tỉ số. Mẹo: Viết thứ tự đỉnh tương ứng ngay sau kí hiệu đồng dạng.
• Lỗi: Nghĩ rằng chỉ cần một cặp góc bằng nhau là đủ. Cần có hai cặp góc tương ứng bằng nhau.
• Mẹo: Đồng dạng nghĩa là “cùng hình, khác cỡ có thể”. Tỉ số các cạnh tương ứng luôn bằng nhau.

Tự kiểm tra nhanh

1. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau. Có thể kết luận chúng đồng dạng theo trường hợp nào?
2. Biết $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, $AB=4\text{ cm}$, $DE=10\text{ cm}$ và $BC=6\text{ cm}$. Tính $EF$.
3. Nếu $\triangle MNO \sim \triangle RST$, cạnh nào tương ứng với $NO$?