Diện tích và thể tích hình nón

Khám phá

Lớp của An làm một chiếc chụp đèn hình nón bằng bìa. Muốn cắt đúng phần bìa phủ quanh mặt bên, An cần biết kích thước nghiêng từ đỉnh xuống mép đáy. Còn khi tính phần không gian bên trong chụp đèn, An cần biết chiều cao thẳng đứng.

Hai độ dài này không giống nhau. Cùng nhận diện chúng và xem mỗi độ dài được dùng vào phép tính nào nhé.

Kiến thức trọng tâm

Quan sát mặt cắt hình nón: hãy chỉ ra cạnh biểu diễn bán kính, chiều cao và đường sinh; kiểm tra xem ba độ dài có tạo thành tam giác vuông không.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Nhận diện chiều cao và đường sinh

Một hình nón có bán kính đáy $3\,\text{cm}$ và chiều cao $4\,\text{cm}$. Tìm đường sinh.

1. Trong mặt cắt qua trục, $r$ và $h$ là hai cạnh góc vuông; $l$ là cạnh huyền.

2. Áp dụng định lí Pythagore: $l^{2}=3^{2}+4^{2}=25$.

3. Vì độ dài là số dương nên $l=5\,\text{cm}$. Đường sinh nghiêng, còn chiều cao vuông góc với đáy.

Ví dụ 2: Tính diện tích và thể tích

Một hình nón có bán kính đáy $3\,\text{cm}$ và chiều cao $4\,\text{cm}$. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích.

1. Tính đường sinh: $l=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\,\text{cm}$.

2. Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi rl=\pi\cdot3\cdot5=15\pi\,\text{cm}^{2}$.

3. Diện tích toàn phần: $S_{tp}=15\pi+\pi\cdot3^{2}=24\pi\,\text{cm}^{2}$.

4. Thể tích: $V=\frac{1}{3}\pi\cdot3^{2}\cdot4=12\pi\,\text{cm}^{3}$.

Ví dụ 3: Biết đường sinh, tìm thể tích

Một hình nón có bán kính đáy $5\,\text{cm}$ và đường sinh $13\,\text{cm}$. Tính thể tích.

1. Từ $l^{2}=r^{2}+h^{2}$, suy ra $h^{2}=l^{2}-r^{2}$.

2. Tính chiều cao: $h=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12\,\text{cm}$.

3. Thay chiều cao vào công thức thể tích: $V=\frac{1}{3}\pi\cdot5^{2}\cdot12=100\pi\,\text{cm}^{3}$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

Tự kiểm tra nhanh

1. Trong một hình nón, đoạn vuông góc từ đỉnh đến mặt phẳng đáy là chiều cao hay đường sinh?

2. Hình nón có $r=6\,\text{cm}$, $h=8\,\text{cm}$. Đường sinh bằng bao nhiêu?

3. Hình nón có $r=2\,\text{cm}$, $h=9\,\text{cm}$. Thể tích bằng bao nhiêu?