Diện tích và thể tích hình trụ

Khám phá: Chiếc ống đựng trà của Minh

Minh muốn bọc giấy quanh mặt bên của một ống trà hình trụ, rồi tính xem ống có thể chứa được bao nhiêu trà. Em sẽ cần nhận ra kích thước nào của chiếc ống?

Hình trụ có hai đáy hình tròn bằng nhau. Bán kính của đáy là bán kính đáy; khoảng cách giữa hai đáy là chiều cao. Khi mở mặt bên ra, ta được một hình chữ nhật.

Quan sát hình khai triển: đối chiếu chiều cao hình chữ nhật với chiều cao hình trụ, và chiều dài hình chữ nhật với chu vi đáy.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Tính các đại lượng cơ bản

Một hình trụ có bán kính đáy $3\\,\\text{cm}$ và chiều cao $8\\,\\text{cm}$. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích.

1. Diện tích xung quanh: $S_{xq}=2\\pi rh=2\\pi\\cdot3\\cdot8=48\\pi\\,\\text{cm}^{2}$.
2. Diện tích hai đáy: $2\\pi r^{2}=2\\pi\\cdot3^{2}=18\\pi\\,\\text{cm}^{2}$.
3. Diện tích toàn phần: $S_{tp}=48\\pi+18\\pi=66\\pi\\,\\text{cm}^{2}$.
4. Thể tích: $V=\\pi r^{2}h=\\pi\\cdot3^{2}\\cdot8=72\\pi\\,\\text{cm}^{3}$.

Đáp số: $S_{xq}=48\\pi\\,\\text{cm}^{2}$, $S_{tp}=66\\pi\\,\\text{cm}^{2}$, $V=72\\pi\\,\\text{cm}^{3}$.

Ví dụ 2: Đọc đường kính trước khi tính

Một hộp hình trụ có đường kính đáy $10\\,\\text{cm}$ và chiều cao $12\\,\\text{cm}$. Tính diện tích toàn phần và thể tích.

1. Đường kính bằng hai lần bán kính, nên $r=10:2=5\\,\\text{cm}$.
2. Diện tích toàn phần: $S_{tp}=2\\pi rh+2\\pi r^{2}=2\\pi\\cdot5\\cdot12+2\\pi\\cdot5^{2}=120\\pi+50\\pi=170\\pi\\,\\text{cm}^{2}$.
3. Thể tích: $V=\\pi r^{2}h=\\pi\\cdot5^{2}\\cdot12=300\\pi\\,\\text{cm}^{3}$.

Đáp số: $S_{tp}=170\\pi\\,\\text{cm}^{2}$, $V=300\\pi\\,\\text{cm}^{3}$.

Ví dụ 3: Ước tính sức chứa

Một bình nước hình trụ có bán kính đáy $0{,}4\\,\\text{m}$ và chiều cao $1{,}5\\,\\text{m}$. Bình chứa được khoảng bao nhiêu lít nước khi đầy? Lấy $\\pi\\approx3{,}14$.

1. Tính thể tích: $V=\\pi r^{2}h\\approx3{,}14\\cdot(0{,}4)^{2}\\cdot1{,}5=0{,}7536\\,\\text{m}^{3}$.
2. Đổi đơn vị: $1\\,\\text{m}^{3}=1000\\,\\text{L}$, nên $0{,}7536\\,\\text{m}^{3}=753{,}6\\,\\text{L}$.

Đáp số: Bình chứa được khoảng $753{,}6\\,\\text{L}$ nước.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Nhầm đường kính với bán kính: Nếu đề cho đường kính $d$, hãy đổi trước bằng $r=d:2$.
• Quên hai đáy: Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng diện tích của cả hai hình tròn đáy.
• Nhầm đơn vị: Diện tích ghi đơn vị vuông; thể tích ghi đơn vị khối.
• Mẹo nhớ: Mặt bên mở ra là “chu vi đáy nhân chiều cao”; thể tích là “diện tích đáy nhân chiều cao”.

Tự kiểm tra nhanh

1. Một hình trụ có đường kính đáy $8\\,\\text{cm}$. Bán kính đáy bằng bao nhiêu?
2. Hình trụ có $r=2\\,\\text{cm}$, $h=7\\,\\text{cm}$. Tính $S_{xq}$ và $V$ theo $\\pi$.
3. Muốn tính diện tích toàn phần, cần cộng thêm bao nhiêu diện tích đáy vào diện tích xung quanh?