Định lí côsin

Khám phá

Mai đang đo một miếng đất hình tam giác để đặt hàng rào. Bạn biết độ dài hai cạnh gặp nhau và góc giữa chúng, nhưng chưa đo được cạnh thứ ba. Làm sao tìm độ dài cạnh còn lại mà không cần đo trực tiếp?

Ta sẽ dùng định lí côsin. Trước hết, hãy nhìn xem độ dài cạnh đối diện một góc liên hệ thế nào với hai cạnh kề góc ấy.

Kiến thức trọng tâm

Kéo đỉnh $C$ để thay đổi hình tam giác; quan sát độ dài các cạnh, góc $A$ và hai vế của hệ thức côsin cùng cập nhật.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Tính một cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Tam giác $ABC$ có $AB=3$, $AC=4$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ}$. Tính $BC$.

1. Ta cần tìm cạnh $BC$, đối diện góc $A$. Chọn hệ thức $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$.
2. Thay $a=BC$, $b=AC=4$, $c=AB=3$, $A=60^{\circ}$:

   $$BC^{2}=4^{2}+3^{2}-2\cdot4\cdot3\cdot\cos60^{\circ}$$

3. Vì $\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$ nên:

   $$BC^{2}=16+9-24\cdot\frac{1}{2}=13$$

4. Độ dài cạnh dương, vậy $BC=\sqrt{13}$.

Ví dụ 2: Tính một góc khi biết ba cạnh

Tam giác $ABC$ có $BC=7$, $CA=5$, $AB=6$. Tính góc $A$.

1. Góc $A$ đối diện cạnh $BC=7$. Dùng hệ thức cho cạnh $a$ rồi chuyển vế:

   $$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$$

2. Thay $a=7$, $b=5$, $c=6$:

   $$\cos A=\frac{5^{2}+6^{2}-7^{2}}{2\cdot5\cdot6}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$$

3. Dùng máy tính ở chế độ độ:

   $$A=\cos^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)\approx78.5^{\circ}$$

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Nhầm góc đối diện: Trong công thức tính $a$, góc đi kèm là $A$, đối diện cạnh $a=BC$.
• Quên số hạng trừ: Hệ thức có dạng “tổng bình phương hai cạnh kề trừ đi phần có côsin”.
• Tính góc sai chế độ: Khi đề dùng độ, đặt máy tính ở chế độ độ trước khi bấm hàm côsin ngược.
• Mẹo nhớ: Tìm cạnh nào thì viết công thức cho cạnh ấy; biết ba cạnh và cần tìm góc thì cô lập côsin của góc đó.

Tự kiểm tra nhanh

1. Tam giác có hai cạnh kề góc $C$ dài $5$ và $8$, góc $C=60^{\circ}$. Hãy viết hệ thức để tính cạnh đối diện góc $C$.
2. Tam giác có $a=5$, $b=4$, $c=3$. Hãy viết biểu thức tính $\cos A$.