Giá trị lượng giác của góc từ 0° đến 180°

Khám phá: Điểm trên vòng quay

Hãy tưởng tượng một điểm sáng chạy trên đường tròn tâm O, bắt đầu từ vị trí bên phải và đi ngược chiều kim đồng hồ. Khi điểm sáng quay đến góc \(\alpha\) từ \(0^{\circ}\) đến \(180^{\circ}\), nó nằm trên nửa đường tròn phía trên. Tọa độ ngang và tọa độ đứng của điểm giúp ta mở rộng cách hiểu về \(\cos\alpha\) và \(\sin\alpha\).

Mô phỏng: Đường tròn lượng giác & đồ thị sin

Thử kéo điểm đến các góc \(30^{\circ}\), \(90^{\circ}\), \(120^{\circ}\) và \(180^{\circ}\). Quan sát dấu của tọa độ ngang, tọa độ đứng; từ đó dự đoán dấu của sin, cos và tan.

Kiến thức trọng tâm

Định nghĩa trên đường tròn lượng giác: Với góc \(\alpha\), điểm tương ứng trên đường tròn đơn vị có tọa độ \((\cos\alpha;\sin\alpha)\). Vì thế, \(\cos\alpha\) là hoành độ và \(\sin\alpha\) là tung độ của điểm.

Khi \(\cos\alpha\ne 0\), ta có \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Do đó, \(\tan\alpha\) không xác định tại \(90^{\circ}\).

Dấu của các giá trị lượng giác:

Với \(0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\), điểm nằm phía trên trục hoành nên \(\sin\alpha>0\). Riêng \(\sin 0^{\circ}=\sin 180^{\circ}=0\).
Với \(0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\), hoành độ dương nên \(\cos\alpha>0\); với \(\alpha=90^{\circ}\), \(\cos\alpha=0\); với \(90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\), \(\cos\alpha<0\).
Vì \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), tan dương khi \(0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\), tan âm khi \(90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\). Ngoài ra, \(\tan 0^{\circ}=\tan 180^{\circ}=0\).

Góc liên quan: Nếu \(0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\), thì \(\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha\), \(\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha\), và khi các biểu thức xác định, \(\tan(180^{\circ}-\alpha)=-\tan\alpha\).

Bảng giá trị góc đặc biệt:

\(\alpha\)	\(\sin\alpha\)	\(\cos\alpha\)	\(\tan\alpha\)
\(0^{\circ}\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(30^{\circ}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(45^{\circ}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(1\)
\(60^{\circ}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\)
\(90^{\circ}\)	\(1\)	\(0\)	Không xác định
\(120^{\circ}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(-\sqrt{3}\)
\(135^{\circ}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-1\)
\(150^{\circ}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(180^{\circ}\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Nhận biết dấu

Xác định dấu của \(\sin 125^{\circ}\), \(\cos 125^{\circ}\) và \(\tan 125^{\circ}\).

Vì \(90^{\circ}<125^{\circ}<180^{\circ}\), điểm tương ứng nằm ở nửa đường tròn phía trên, bên trái.
Tung độ dương nên \(\sin 125^{\circ}>0\); hoành độ âm nên \(\cos 125^{\circ}<0\).
Thương của số dương và số âm là số âm, nên \(\tan 125^{\circ}<0\).

Kết luận: sin dương, cos âm, tan âm.

Ví dụ 2: Tính giá trị tại góc lớn hơn \(90^{\circ}\)

Tính \(\sin 150^{\circ}\), \(\cos 150^{\circ}\) và \(\tan 150^{\circ}\).

Nhận ra \(150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}\).
Dùng công thức góc liên quan: \(\sin 150^{\circ}=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}\).
Cos đổi dấu: \(\cos 150^{\circ}=-\cos 30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Tan đổi dấu: \(\tan 150^{\circ}=-\tan 30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Ví dụ 3: Góc đặc biệt và điểm cần lưu ý

Tính \(\sin 135^{\circ}\), \(\cos 135^{\circ}\), \(\tan 135^{\circ}\), rồi cho biết tan của \(90^{\circ}\) có xác định không.

Ta có \(135^{\circ}=180^{\circ}-45^{\circ}\).
Vậy \(\sin 135^{\circ}=\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
\(\cos 135^{\circ}=-\cos 45^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), nên \(\tan 135^{\circ}=-1\).
Với \(90^{\circ}\), \(\cos 90^{\circ}=0\). Vì phép chia cho \(0\) không xác định nên \(\tan 90^{\circ}\) không xác định.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

Lỗi: Cho rằng cos luôn dương vì góc nhọn trong tam giác vuông có cos dương. Sửa: Với góc lớn hơn \(90^{\circ}\) và nhỏ hơn \(180^{\circ}\), hoành độ âm nên cos âm.
Lỗi: Gán cho \(\tan 90^{\circ}\) một giá trị. Sửa: Tan là thương có mẫu \(\cos\alpha\); tại \(90^{\circ}\), mẫu bằng \(0\).
Mẹo nhớ: Trên nửa đường tròn phía trên, sin không âm. Qua \(90^{\circ}\), cos đổi từ dương sang âm; tan cũng đổi dấu vì sin vẫn dương.
Mẹo tính: Với góc lớn hơn \(90^{\circ}\), tìm góc phụ với \(180^{\circ}\), giữ nguyên sin và đổi dấu cos, tan.

Tự kiểm tra nhanh

Hãy tự làm trước khi xem đáp án ở cuối.

Cho \(\alpha=110^{\circ}\). Sin, cos và tan mang dấu gì?
Tính \(\cos 120^{\circ}\) và \(\tan 120^{\circ}\).
\(\tan 90^{\circ}\) có xác định không? Vì sao?

Đáp án

Chỉ xem sau khi đã tự làm.

\(\sin 110^{\circ}>0\), \(\cos 110^{\circ}<0\), \(\tan 110^{\circ}<0\).
\(\cos 120^{\circ}=-\frac{1}{2}\), \(\tan 120^{\circ}=-\sqrt{3}\).
Không xác định, vì \(\cos 90^{\circ}=0\) và tan là thương có mẫu bằng \(0\).