Định lí sin

Khám phá: Đo đường chéo sân trường

Mai đứng ở hai đầu một đoạn sân dài đã biết để ngắm một chiếc cột cờ. Từ mỗi đầu đoạn sân, bạn đo được góc nhìn đến chân cột. Làm thế nào để ước lượng khoảng cách từ cột đến mỗi đầu sân mà không cần đi đến đó?

Ta có thể mô hình tình huống bằng một tam giác. Định lí sin giúp nối mỗi cạnh với góc đối diện của cạnh ấy.

Kéo điểm C để làm thay đổi tam giác. Quan sát độ dài cạnh đối diện mỗi góc và các tỉ số hiển thị.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Tìm một cạnh

Trong tam giác ABC, biết A = 30°, B = 45° và a = 6 cm. Tính b.

1. Ghép cạnh với góc đối diện: a đối diện A, b đối diện B.

2. Áp dụng định lí sin: $$\frac{b}{\sin 45^{\circ}}=\frac{6}{\sin 30^{\circ}}.$$

3. Suy ra $$b=\frac{6\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=6\sqrt{2}\approx 8{,}49\text{ cm}.$$

4. Kiểm tra nhanh: B lớn hơn A nên cạnh b cần lớn hơn cạnh a. Kết quả phù hợp vì 8,49 lớn hơn 6.

Ví dụ 2: Tìm góc và kiểm tra kết quả

Trong tam giác ABC, biết A = 50°, a = 9 cm và b = 7 cm. Tìm góc B.

1. Lập tỉ số theo định lí sin: $$\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin 50^{\circ}}{9}.$$

2. Tính $$\sin B=\frac{7\sin 50^{\circ}}{9}\approx 0{,}596.$$

3. Suy ra một khả năng là $$B\approx\arcsin(0{,}596)\approx 36{,}6^{\circ}.$$ Khả năng còn lại là $$180^{\circ}-36{,}6^{\circ}=143{,}4^{\circ}.$$

4. Kiểm tra tổng góc: $$50^{\circ}+143{,}4^{\circ}>180^{\circ},$$ nên góc 143,4° không thể thuộc tam giác này. Vậy $$B\approx36{,}6^{\circ}.$$

Ví dụ 3: Nhận ra hai khả năng hợp lệ

Trong tam giác ABC, biết A = 40°, a = 8 cm và b = 10 cm. Tìm các khả năng của góc B.

1. Theo định lí sin: $$\sin B=\frac{10\sin 40^{\circ}}{8}\approx0{,}804.$$

2. Hai góc từ 0° đến 180° có sin gần bằng 0,804 là $$B_1\approx53{,}5^{\circ}$$ và $$B_2\approx126{,}5^{\circ}.$$

3. Kiểm tra: $$40^{\circ}+53{,}5^{\circ}<180^{\circ}$$ và $$40^{\circ}+126{,}5^{\circ}<180^{\circ}.$$ Cả hai đều để lại một góc C dương, nên cả hai khả năng đều phù hợp.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Ghép nhầm cạnh và góc: a luôn đối diện A, b đối diện B, c đối diện C. Hãy đánh dấu từng cặp trước khi lập tỉ số.

• Quên đơn vị góc: Khi thay góc vào sin, nhớ dùng đúng số đo theo độ nếu máy tính đang ở chế độ độ.

• Chỉ nhận một góc khi tìm bằng sin: Kiểm tra cả khả năng góc bù, rồi loại nghiệm không thỏa tổng ba góc hoặc dữ kiện cạnh.

• Mẹo nhớ: Cạnh nào thì đi với sin của góc đối diện cạnh ấy.

Tự kiểm tra nhanh

1. Trong tam giác ABC, cạnh nào đối diện góc C?

2. Nếu A = 30°, a = 4 cm và B = 90°, hãy tính b.

3. Nếu A = 100° và sin B = sin 30°, giá trị B = 150° có thể là góc của tam giác không?