Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân

Khám phá: Chọn món ở quầy ăn vặt

Giờ ra chơi, Minh chọn một trong hai phần ăn: bánh cuốn hoặc xôi. Nếu chọn bánh cuốn, bạn chọn một loại bánh và một loại nước. Nếu chọn xôi, bạn chọn một loại xôi, một loại nước và một loại topping. Theo em, nên đếm thế nào để không bỏ sót hoặc đếm lặp?

Ta sẽ đếm riêng số cách chọn mỗi phần ăn, rồi ghép các kết quả lại. Hãy để ý: trong từng phần ăn có nhiều bước lựa chọn, còn giữa hai phần ăn là lựa chọn một trong hai trường hợp.

Kiến thức trọng tâm

Thử thay đổi số loại bánh cuốn, nước, xôi và topping trên mô phỏng; quan sát số cách của từng trường hợp và tổng số cách thay đổi ra sao.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Chọn một loại nước

Một quầy có $3$ loại trà và $4$ loại nước ép. Khách chọn đúng một loại nước. Có bao nhiêu lựa chọn?

1. Chia thành hai trường hợp: chọn trà hoặc chọn nước ép. Hai trường hợp không trùng nhau.
2. Có $3$ cách chọn trà và $4$ cách chọn nước ép.
3. Dùng quy tắc cộng: $3 + 4 = 7$.

Đáp số: Có $7$ lựa chọn. Vì chỉ chọn một loại nước, không có bước lựa chọn thứ hai để nhân.

Ví dụ 2: Chọn phần ăn và đồ uống

Quầy có bánh cuốn với $3$ loại bánh và $2$ loại nước. Quầy cũng có xôi với $4$ loại xôi, $2$ loại nước và $3$ loại topping. Khách chọn một phần ăn thuộc đúng một trong hai nhóm. Có bao nhiêu cách chọn?

1. Trường hợp chọn bánh cuốn: chọn một loại bánh và một loại nước, nên có $3 \cdot 2 = 6$ cách.
2. Trường hợp chọn xôi: chọn một loại xôi, một loại nước và một loại topping, nên có $4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$ cách.
3. Hai nhóm phần ăn tách biệt, nên cộng số cách: $6 + 24 = 30$.

Đáp số: Có $30$ cách. Ta nhân trong mỗi nhóm vì cần hoàn thành nhiều bước chọn; ta cộng giữa hai nhóm vì khách chọn bánh cuốn hoặc xôi.

Ví dụ 3: Lập số có ba chữ số không lặp

Dùng các chữ số $1, 2, 3, 4$ để lập số có ba chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số nếu chia thành hai trường hợp: chữ số hàng trăm chẵn hoặc lẻ?

1. Hàng trăm chẵn: chọn hàng trăm từ $2, 4$, có $2$ cách. Sau đó còn $3$ cách chọn hàng chục và $2$ cách chọn hàng đơn vị. Số cách là $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$.
2. Hàng trăm lẻ: chọn hàng trăm từ $1, 3$, có $2$ cách. Tiếp theo có $3$ cách chọn hàng chục và $2$ cách chọn hàng đơn vị. Số cách là $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$.
3. Một chữ số hàng trăm không thể vừa chẵn vừa lẻ, nên hai trường hợp không trùng nhau. Tổng số cách là $12 + 12 = 24$.

Đáp số: Có $24$ số. Việc chia trường hợp giúp đếm rõ lựa chọn đầu tiên; trong mỗi trường hợp, ba vị trí được chọn theo thứ tự nên dùng quy tắc nhân.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Cộng các bước liên tiếp: Chọn món và chọn nước là các bước cùng cần thực hiện; phải nhân số cách, không cộng.
• Nhân các trường hợp loại trừ nhau: Chọn bánh cuốn hoặc xôi là hai trường hợp riêng; hãy cộng số cách của chúng.
• Đếm trùng: Nếu một cách có thể nằm trong hai trường hợp, cần chia lại thành các trường hợp không giao nhau trước khi cộng.
• Mẹo trình bày: Vẽ sơ đồ hoặc lập bảng: mỗi hàng là một trường hợp; trong hàng ghi các bước và phép nhân; cuối cùng cộng các hàng.

Tự kiểm tra nhanh

1. Một quầy có $4$ loại trà và $3$ loại nước ép. Chọn đúng một loại nước. Có bao nhiêu cách?
2. Có thể chọn bộ quà loại A gồm $2$ kiểu sổ và $3$ màu bút, hoặc bộ quà loại B gồm $4$ kiểu sổ và $2$ màu bút. Hai loại bộ quà không trùng nhau. Có bao nhiêu cách chọn?
3. Dùng các chữ số $1, 2, 3, 4, 5$ lập số có ba chữ số khác nhau. Chia thành hai trường hợp chữ số hàng trăm là $1$ hoặc $2$, và chữ số hàng trăm là $3$, $4$ hoặc $5$. Hãy tính tổng số cách.