Quy tắc nhân trong đếm
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh mô tả được các bước liên tiếp của một tình huống đếm.
- Học sinh tính được số cách thực hiện công việc bằng quy tắc nhân.
Khám phá
Mai chuẩn bị trang phục đi dã ngoại. Bạn có $4$ chiếc áo và $3$ chiếc quần. Mỗi bộ gồm một áo và một quần. Mai có bao nhiêu cách chọn một bộ?
Hãy hình dung việc chọn đồ thành hai bước: chọn áo, rồi chọn quần. Với mỗi chiếc áo, Mai đều có thể ghép với cả $3$ chiếc quần. Vậy ta cần đếm các lựa chọn nối tiếp nhau.
Kéo hai thanh trượt để thay đổi số áo và số quần, rồi quan sát số cách ghép thay đổi như thế nào.
Kiến thức trọng tâm
Quy tắc nhân: Nếu một công việc được thực hiện qua $n$ bước liên tiếp; với mỗi cách chọn ở một bước, số cách chọn ở bước tiếp theo không đổi lần lượt là $m_1, m_2, \ldots, m_n$, thì số cách thực hiện công việc là
$$m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots \cdot m_n.$$
Vì sao nhân? Mỗi lựa chọn ở bước trước có thể đi cùng với các lựa chọn ở bước sau. Ta đếm số cách ghép qua từng bước, nên tổng số cách là tích số lựa chọn của các bước.
Phân biệt với quy tắc cộng: Dùng quy tắc nhân khi làm lần lượt nhiều bước để hoàn tất một việc. Dùng quy tắc cộng khi chọn một trong các phương án tách biệt, chẳng hạn chọn món này hoặc món kia.
Câu hỏi tự nhắc: Đề bài yêu cầu làm nhiều bước nối tiếp, hay chỉ chọn một phương án trong nhiều phương án?
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Chọn trang phục
Mai có $4$ chiếc áo và $3$ chiếc quần. Mỗi bộ gồm đúng một áo và một quần. Có bao nhiêu bộ khác nhau?
Bước $1$: chọn áo, có $4$ cách.
Bước $2$: chọn quần, có $3$ cách.
Hai bước đều cần thực hiện, nên theo quy tắc nhân, số bộ là $4 \cdot 3 = 12$.
Đáp số: Có $12$ bộ trang phục.
Ví dụ 2: Tạo mã cho tủ đồ
Một mã gồm một chữ cái và một chữ số. Chữ cái được chọn trong các chữ $A, B, C, D$, chữ số được chọn trong các số $1, 2, 3, 4, 5$. Có thể dùng lại chữ cái hoặc chữ số ở những mã khác nhau. Có bao nhiêu mã?
Bước $1$: chọn chữ cái, có $4$ cách.
Bước $2$: chọn chữ số, có $5$ cách. Mỗi chữ cái đều ghép được với cả $5$ chữ số.
Số mã là $4 \cdot 5 = 20$.
Đáp số: Có $20$ mã.
Ví dụ 3: Chọn cách di chuyển
Từ nhà đến bến xe, An có thể đi bộ hoặc đi xe đạp. Nếu đi bộ, An có $2$ tuyến đường; nếu đi xe đạp, An có $3$ tuyến đường. An chọn một cách di chuyển rồi đi theo một tuyến tương ứng. Có bao nhiêu lựa chọn?
An không vừa đi bộ vừa đi xe đạp trong cùng một lựa chọn; bạn chọn một trong hai phương án.
Phương án đi bộ có $2$ lựa chọn tuyến đường; phương án đi xe đạp có $3$ lựa chọn tuyến đường.
Cộng số lựa chọn của hai phương án tách biệt: $2 + 3 = 5$.
Đáp số: Có $5$ lựa chọn. Đây là quy tắc cộng, không phải quy tắc nhân.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
Lỗi: Thấy nhiều con số là nhân ngay. Sửa: Xác định rõ công việc cần làm qua các bước nối tiếp hay chỉ chọn một trong nhiều phương án.
Lỗi: Bỏ sót một bước. Mẹo: Liệt kê ngắn gọn từng bước trước khi tính.
Lỗi: Dùng quy tắc nhân dù số lựa chọn ở bước sau thay đổi theo lựa chọn trước. Mẹo: Kiểm tra xem số cách ở mỗi bước có cố định với mọi lựa chọn trước đó không; nếu không, hãy chia trường hợp rồi đếm riêng.
Mẹo nhớ: Làm bước này và bước kia thì thường nhân; chọn phương án này hoặc phương án kia thì thường cộng, khi các phương án không trùng lặp.
Tự kiểm tra nhanh
Một quầy có $3$ loại bánh và $4$ loại nước. Chọn một bánh và một nước. Có bao nhiêu cách chọn?
Một bạn chọn đi thư viện bằng xe buýt theo một trong $2$ tuyến, hoặc đi bộ theo một trong $3$ tuyến. Có bao nhiêu lựa chọn cách đi?
Một thẻ gồm một ký hiệu được chọn trong $5$ ký hiệu và một màu được chọn trong $2$ màu. Công việc có mấy bước? Có bao nhiêu thẻ khác nhau?
Đáp án — hãy tự làm trước khi đọc:
Câu $1$: $3 \cdot 4 = 12$ cách.
Câu $2$: $2 + 3 = 5$ lựa chọn.
Câu $3$: Có $2$ bước; số thẻ là $5 \cdot 2 = 10$.