Quy tắc cộng trong đếm

Khám phá

Ở ngày hội của trường, Minh muốn đăng ký đúng một hoạt động: chọn một trong các hoạt động vẽ tranh hoặc chọn một trong các hoạt động khoa học. Mỗi hoạt động chỉ thuộc một nhóm, và Minh không đăng ký cả hai nhóm cùng lúc. Nếu nhóm vẽ có $4$ hoạt động, nhóm khoa học có $3$ hoạt động, Minh có tất cả bao nhiêu cách chọn?

Ta có thể đếm riêng số cách ở từng nhóm rồi cộng lại, vì hai nhóm không có lựa chọn chung.

Mô phỏng: Đếm kết quả thắng

Trong mô phỏng, hãy quan sát số thẻ thuộc mỗi biến cố rồi kiểm tra tổng số kết quả khi hai biến cố không có kết quả chung.

Kiến thức trọng tâm

Quy tắc cộng: Nếu một công việc được thực hiện bằng một trong các phương án loại trừ nhau, thì số cách thực hiện công việc bằng tổng số cách của từng phương án.

Với hai tập hợp kết quả $A$ và $B$ không có phần tử chung, tức là $A \cap B = \varnothing$, ta có:

$$n(A \cup B)=n(A)+n(B).$$

Nếu có nhiều phương án đôi một loại trừ nhau, ta cộng số cách của tất cả các phương án.

Điều cần kiểm tra: Mỗi kết quả của công việc chỉ được tính vào đúng một phương án. Nếu một kết quả thuộc nhiều phương án, không được cộng thẳng vì có thể đếm lặp.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Chọn hoạt động ở ngày hội

Nhóm vẽ có $4$ hoạt động, nhóm khoa học có $3$ hoạt động. Chọn đúng một hoạt động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Chia các lựa chọn thành hai phương án: chọn hoạt động vẽ hoặc chọn hoạt động khoa học.
Hai phương án loại trừ nhau vì mỗi hoạt động chỉ thuộc một nhóm, và chỉ chọn đúng một hoạt động.
Áp dụng quy tắc cộng: $4+3=7$.

Đáp số: Có $7$ cách chọn.

Ví dụ 2: Chọn một món quà

Một gian hàng có $5$ mẫu sổ tay và $4$ mẫu bình nước. Lan chọn đúng một món quà. Hỏi Lan có bao nhiêu cách chọn?

Phương án thứ nhất là chọn một mẫu sổ tay, có $5$ cách.
Phương án thứ hai là chọn một mẫu bình nước, có $4$ cách. Một món không thể vừa là sổ tay vừa là bình nước, nên hai phương án loại trừ nhau.
Cộng số cách của hai phương án: $5+4=9$.

Đáp số: Có $9$ cách chọn.

Ví dụ 3: Chọn một thẻ theo tính chẵn lẻ

Có các thẻ ghi số từ $1$ đến $8$. Chọn một thẻ ghi số lẻ hoặc một thẻ ghi số chẵn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Các số lẻ là $1, 3, 5, 7$, nên có $4$ cách chọn thẻ ghi số lẻ.
Các số chẵn là $2, 4, 6, 8$, nên có $4$ cách chọn thẻ ghi số chẵn. Một số không thể vừa chẵn vừa lẻ, nên hai trường hợp loại trừ nhau.
Áp dụng quy tắc cộng: $4+4=8$.

Đáp số: Có $8$ cách chọn.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

Lỗi: Cứ thấy hai nhóm lựa chọn là cộng. Sửa: Kiểm tra xem có kết quả nào xuất hiện ở cả hai nhóm không.
Lỗi: Cộng số cách khi đề bài cho phép chọn đồng thời từ hai phương án. Khi đó, việc thực hiện công việc không còn là chọn một trong các phương án loại trừ nhau.
Mẹo nhớ: “Hoặc” thường gợi ý quy tắc cộng, nhưng vẫn phải xác nhận các trường hợp có loại trừ nhau.

Tự kiểm tra nhanh

Một quầy có $6$ loại bánh và $2$ loại trái cây. Chọn đúng một món. Có bao nhiêu cách chọn?
Một số tự nhiên được chọn từ $1$ đến $10$. Chọn số chia hết cho $2$ hoặc chia hết cho $5$. Hai trường hợp có loại trừ nhau không?
Có $3$ cách đi bộ đến công viên và $2$ cách đi xe buýt đến công viên. Nếu chọn đúng một cách đi, có bao nhiêu lựa chọn?

Đáp án tự kiểm tra — hãy che phần này khi làm: Câu 1: $6+2=8$ cách. Câu 2: Không, vì số $10$ chia hết cho cả $2$ và $5$. Câu 3: Hai phương án loại trừ nhau, nên có $3+2=5$ lựa chọn.