Phương trình đường thẳng
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh viết được phương trình đường thẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến.
- Học sinh kiểm tra được một điểm có thuộc đường thẳng cho trước hay không.
Khám phá
Trên bản đồ ô vuông của một khu sinh hoạt, một lối đi thẳng đi qua điểm $P(1;2)$. Một mũi tên vuông góc với lối đi có hướng $(2;1)$. Làm thế nào viết được phương trình của lối đi chỉ từ hai dữ kiện đó?
Ta sẽ dùng chính vectơ vuông góc này để nhận ra điều kiện mà mọi điểm trên lối đi đều thỏa mãn.
Hãy kéo các thanh trượt để đổi điểm $P$ và vectơ pháp tuyến; quan sát đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua $P$ và vuông góc với vectơ pháp tuyến.
Kiến thức trọng tâm
Phương trình đường thẳng qua một điểm, biết vectơ pháp tuyến
Nếu đường thẳng đi qua $M(x_0;y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\\vec{n}=(a;b)$, với $(a;b)\ne(0;0)$, thì một phương trình của đường thẳng là:
$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0.$$
Viết khai triển, ta được dạng tổng quát:
$$ax+by+c=0,\qquad c=-ax_0-by_0.$$
Vì sao công thức đúng? Với điểm $N(x;y)$ trên đường thẳng, vectơ $\\overrightarrow{MN}=(x-x_0;y-y_0)$ có phương vuông góc với vectơ pháp tuyến. Tích vô hướng của hai vectơ bằng $0$, nên $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$.
Một số dạng thường gặp:
- Dạng tổng quát: $ax+by+c=0$, trong đó $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$.
- Dạng điểm – pháp tuyến: $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$.
- Nếu đường thẳng không thẳng đứng, có thể viết dạng hệ số góc: $y-y_0=m(x-x_0)$.
- Đường thẳng thẳng đứng có dạng $x=x_0$; dạng hệ số góc không biểu diễn được đường này.
Kiểm tra điểm: Thay tọa độ điểm vào vế trái của phương trình tổng quát. Nếu giá trị bằng $0$, điểm thuộc đường thẳng; nếu khác $0$, điểm không thuộc đường thẳng.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Biết một điểm và vectơ pháp tuyến
Viết phương trình đường thẳng đi qua $M(2;-1)$ và có vectơ pháp tuyến $\\vec{n}=(3;2)$.
- Dùng dạng điểm – pháp tuyến: $3(x-2)+2(y-(-1))=0$.
- Thu gọn: $3(x-2)+2(y+1)=0$.
- Khai triển: $3x-6+2y+2=0$.
- Vậy phương trình là $3x+2y-4=0$.
Ví dụ 2: Dữ kiện tương đương là hai điểm
Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(1;2)$ và $B(4;0)$.
- Tính vectơ chỉ phương: $\\overrightarrow{AB}=(4-1;0-2)=(3;-2)$.
- Một vectơ pháp tuyến vuông góc với vectơ chỉ phương là $\\vec{n}=(2;3)$, vì $2\cdot3+3\cdot(-2)=0$.
- Dùng điểm $A$ và vectơ pháp tuyến: $2(x-1)+3(y-2)=0$.
- Khai triển, được phương trình $2x+3y-8=0$.
Ví dụ 3: Kiểm tra điểm có thuộc đường thẳng không
Cho đường thẳng $d:2x-y+3=0$. Kiểm tra $P(1;5)$ và $Q(0;2)$ có thuộc $d$ không.
- Thay tọa độ $P$ vào vế trái: $2\cdot1-5+3=0$. Vậy $P\in d$.
- Thay tọa độ $Q$ vào vế trái: $2\cdot0-2+3=1\ne0$. Vậy $Q\notin d$.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
- Đừng nhầm vectơ pháp tuyến với vectơ chỉ phương. Vectơ pháp tuyến vuông góc với đường thẳng; vectơ chỉ phương song song với đường thẳng.
- Khi thay tọa độ điểm, thay hoành độ vào vị trí của $x$ và tung độ vào vị trí của $y$.
- Với phương trình $ax+by+c=0$, cặp hệ số của vectơ pháp tuyến là $(a;b)$.
- Mẹo nhớ: “Điểm làm mốc, pháp tuyến làm hướng vuông góc”; thay tọa độ vào phương trình để kiểm tra điểm.
Tự kiểm tra nhanh
- Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(0;3)$ và có vectơ pháp tuyến $(1;-2)$.
- Điểm $R(2;1)$ có thuộc đường thẳng $x+2y-4=0$ không?
- Đường thẳng $y=3$ có phải là đường thẳng thẳng đứng không?
Đáp án — hãy che phần này trước khi tự làm
- $x-2(y-3)=0$, hay $x-2y+6=0$.
- Có, vì $2+2\cdot1-4=0$.
- Không. Đây là đường thẳng nằm ngang; đường thẳng thẳng đứng có dạng $x=x_0$.