Tọa độ vectơ và ứng dụng

Khám phá

Trên bản đồ ô vuông của một khu phố, Mai đi từ điểm A đến điểm B: bạn đi sang phải và đi lên một số ô nhất định. Ta có thể mô tả hành trình ấy bằng hai con số: độ dịch chuyển theo chiều ngang và độ dịch chuyển theo chiều dọc. Hai con số này chính là tọa độ của vectơ chỉ hướng đi.

Thử dự đoán: nếu biết tọa độ điểm xuất phát và điểm đến, ta tìm hai độ dịch chuyển bằng cách nào?

Kéo các điểm A và B để thay đổi hai vectơ. Quan sát tọa độ của từng vectơ và xem tọa độ vectơ tổng thay đổi ra sao.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ một: Tìm tọa độ vectơ từ hai điểm

Cho A(-2;1), B(3;4). Tìm tọa độ \(\overrightarrow{AB}\).

1. Ghi tọa độ điểm cuối B và điểm đầu A.
2. Lấy hoành độ điểm cuối trừ hoành độ điểm đầu: \(3-(-2)=5\).
3. Lấy tung độ điểm cuối trừ tung độ điểm đầu: \(4-1=3\).

Vậy \(\overrightarrow{AB}=(5;3)\). Điều này nghĩa là từ A đến B, ta dịch sang phải \(5\) đơn vị và lên \(3\) đơn vị.

Ví dụ hai: Tính tổng, hiệu và độ dài

Cho \(\vec{u}=(2;-1)\), \(\vec{v}=(-3;4)\). Tính \(\vec{u}+\vec{v}\), \(\vec{u}-\vec{v}\) và \(|\vec{u}|\).

1. Cộng từng tọa độ cùng vị trí: \(\vec{u}+\vec{v}=(2+(-3);-1+4)=(-1;3)\).
2. Lấy tọa độ của \(\vec{v}\) trừ khỏi tọa độ tương ứng của \(\vec{u}\): \(\vec{u}-\vec{v}=(2-(-3);-1-4)=(5;-5)\).
3. Dùng công thức độ dài: \(|\vec{u}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\).

Vậy \(\vec{u}+\vec{v}=(-1;3)\), \(\vec{u}-\vec{v}=(5;-5)\) và \(|\vec{u}|=\sqrt{5}\).

Ví dụ ba: Dùng vectơ kiểm tra hình bình hành

Cho A(1;1), B(5;2), C(6;5), D(2;4). Kiểm tra xem tứ giác ABCD có là hình bình hành không.

1. Tính \(\overrightarrow{AB}=(5-1;2-1)=(4;1)\).
2. Tính \(\overrightarrow{DC}=(6-2;5-4)=(4;1)\). Suy ra \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
3. Tính \(\overrightarrow{AD}=(2-1;4-1)=(1;3)\) và \(\overrightarrow{BC}=(6-5;5-2)=(1;3)\). Suy ra \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).

Hai cặp cạnh đối có các vectơ tương ứng bằng nhau, nên ABCD là hình bình hành.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Đảo thứ tự hai điểm: \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BA}\) ngược hướng. Hãy nhớ luôn lấy điểm cuối trừ điểm đầu.
• Trừ nhầm tọa độ: khi tính hiệu vectơ, trừ hoành độ với hoành độ và tung độ với tung độ.
• Quên bình phương trong công thức độ dài: độ dài của \((a;b)\) là \(\sqrt{a^2+b^2}\), không phải \(a+b\).
• Mẹo nhớ: tìm vectơ thì lấy cuối trừ đầu; cộng, trừ vectơ thì xử lí từng cột; tính độ dài thì dùng Pythagore.

Tự kiểm tra nhanh

1. Cho P(2;-1), Q(-1;3). Tìm \(\overrightarrow{PQ}\).
2. Cho \(\vec{a}=(1;4)\), \(\vec{b}=(3;-2)\). Tính \(\vec{a}+\vec{b}\) và \(\vec{a}-\vec{b}\).
3. Tính độ dài vectơ \(\vec{m}=(6;8)\).