Tọa độ điểm và khoảng cách trong mặt phẳng
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh đọc và viết được tọa độ của một điểm trên mặt phẳng.
- Học sinh tính được khoảng cách giữa hai điểm có tọa độ cho trước.
Khám phá: Trên bản đồ ô vuông
Mai hẹn bạn ở một điểm trên bản đồ khu phố. Từ giao điểm hai con đường được chọn làm gốc, Mai đi sang phải rồi đi lên. Muốn ghi lại vị trí ấy, ta cần một cặp số có thứ tự. Còn nếu muốn biết hai địa điểm cách nhau bao xa, ta có thể ghép các bước ngang và dọc thành một tam giác vuông.
Hãy thử kéo điểm B trong mô phỏng. Quan sát tọa độ hai điểm và ba cạnh của tam giác vuông để thấy khoảng cách AB được tạo nên từ độ dịch chuyển ngang và dọc.
Thao tác: kéo điểm B đến vị trí khác, rồi so sánh độ dài hai cạnh vuông góc với độ dài đoạn AB.
Kiến thức trọng tâm
Tọa độ điểm: Mặt phẳng tọa độ gồm trục hoành nằm ngang và trục tung thẳng đứng; hai trục cắt nhau tại gốc tọa độ $O$. Điểm $M$ được ghi bằng cặp số có thứ tự $M(x;y)$: số thứ nhất $x$ là hoành độ, số thứ hai $y$ là tung độ.
Để xác định $M(x;y)$, từ $O$ dịch chuyển theo phương ngang một đoạn ứng với $x$, rồi theo phương đứng một đoạn ứng với $y$. Giá trị âm nghĩa là đi ngược chiều dương của trục tương ứng.
Khoảng cách giữa hai điểm: Với $A(x_1;y_1)$ và $B(x_2;y_2)$, độ dịch chuyển ngang là $|x_2-x_1|$, độ dịch chuyển đứng là $|y_2-y_1|$. Hai độ dịch chuyển này là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền là $AB$. Theo định lí Pythagore:
$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$
Nếu hai điểm có cùng hoành độ hoặc cùng tung độ, đoạn nối hai điểm song song với một trục nên khoảng cách lần lượt là độ chênh lệch tung độ hoặc hoành độ.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ: Đọc tọa độ một điểm
Điểm $M$ nằm cách $O$ hai đơn vị về bên trái và ba đơn vị lên trên. Viết tọa độ của $M$.
Bước thứ nhất: Đi sang trái nên hoành độ là $-2$.
Bước thứ hai: Đi lên trên nên tung độ là $3$.
Vậy $M(-2;3)$.
Ví dụ: Hai điểm có cùng hoành độ
Cho $A(1;2)$ và $B(1;7)$. Tính $AB$.
Bước thứ nhất: Hai điểm có cùng hoành độ, nên đoạn $AB$ thẳng đứng.
Bước thứ hai: Độ dài là độ chênh lệch tung độ: $AB=|7-2|=5$.
Ví dụ: Dùng công thức khoảng cách
Cho $P(-2;1)$ và $Q(4;9)$. Tính $PQ$.
Bước thứ nhất: Tính chênh lệch hoành độ và tung độ: $4-(-2)=6$, $9-1=8$.
Bước thứ hai: Áp dụng công thức khoảng cách, cũng chính là định lí Pythagore cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài $6$ và $8$:
$$PQ=\sqrt{(4-(-2))^2+(9-1)^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10.$$
Lỗi hay gặp và mẹo nhớ
- Đảo thứ tự tọa độ: luôn đọc hoành độ trước, tung độ sau: $x$ rồi đến $y$.
- Quên dấu âm: đi sang trái hoặc đi xuống dưới theo chiều ngược chiều dương thì tọa độ tương ứng mang dấu âm.
- Trừ nhầm khi tính khoảng cách: hãy viết rõ hai hiệu $x_2-x_1$ và $y_2-y_1$; vì các hiệu được bình phương nên đổi thứ tự trong từng hiệu không làm đổi kết quả.
- Mẹo nhớ: khoảng cách là cạnh huyền; hai hiệu tọa độ là hai cạnh góc vuông.
Tự kiểm tra nhanh
- Điểm $R$ nằm ba đơn vị sang trái và hai đơn vị xuống dưới so với $O$. Tọa độ của $R$ là gì?
- Tính khoảng cách giữa $C(2;1)$ và $D(5;5)$.
- Nếu hai điểm có cùng tung độ, đoạn nối chúng nằm theo phương nào?
Đáp án — xem sau khi tự làm:
- $R(-3;-2)$.
- $CD=\sqrt{(5-2)^2+(5-1)^2}=5$.
- Đoạn nối nằm ngang, song song với trục hoành.