Đo góc bằng radian
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh đổi được số đo góc từ độ sang radian và ngược lại.
- Học sinh tính được độ dài cung tròn khi biết bán kính và số đo góc.
Khám phá
Lan dùng một sợi dây dài $10$ cm làm bán kính để vẽ một đường tròn trên tấm bìa. Bạn đánh dấu một cung tròn cũng dài $10$ cm. Góc ở tâm chắn cung ấy có một tên gọi riêng: góc có số đo $1$ radian.
Vì sao độ dài cung lại giúp đo góc? Cùng xem mối liên hệ này nhé.
Kiến thức trọng tâm
Radian là đơn vị đo góc. Góc ở tâm có số đo $1$ radian nếu nó chắn một cung có độ dài bằng bán kính đường tròn.
Nếu cung có độ dài $s$ và đường tròn có bán kính $r$, số đo góc ở tâm bằng radian là:
$$\theta=\frac{s}{r}$$
Một vòng tròn có chu vi $2\pi r$, nên số đo góc của một vòng tròn là $2\pi$ radian. Do đó:
$$180^{\circ}=\pi\text{ rad},\qquad 360^{\circ}=2\pi\text{ rad}$$
Đổi từ độ sang radian: nhân số đo độ với $\frac{\pi}{180}$.
$$\alpha^{\circ}=\alpha\cdot\frac{\pi}{180}\text{ rad}$$
Đổi từ radian sang độ: nhân số đo radian với $\frac{180}{\pi}$.
$$\beta\text{ rad}=\beta\cdot\frac{180}{\pi}^{\circ}$$
Độ dài cung tròn: khi $\theta$ tính bằng radian, độ dài cung là:
$$s=r\theta$$
Vì radian được tính bằng tỉ số $\frac{s}{r}$, công thức này cho biết cung dài gấp bao nhiêu lần bán kính.
Kéo thanh trượt $\theta$ để quan sát: khi bán kính giữ ở $5$ cm, góc radian tăng thì độ dài cung tăng theo.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Đổi từ độ sang radian
Đổi $60^{\circ}$ sang radian.
- Dùng hệ thức $180^{\circ}=\pi\text{ rad}$.
- Ta có $60^{\circ}=60\cdot\frac{\pi}{180}\text{ rad}$.
- Rút gọn được $\frac{\pi}{3}\text{ rad}$.
Kết quả: $60^{\circ}=\frac{\pi}{3}\text{ rad}$.
Ví dụ 2: Đổi từ radian sang độ
Đổi $\frac{5\pi}{6}$ rad sang độ.
- Nhân số đo radian với $\frac{180}{\pi}$.
- $$\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi}=150$$
- Vậy số đo là $150^{\circ}$.
Kết quả: $\frac{5\pi}{6}\text{ rad}=150^{\circ}$.
Ví dụ 3: Tính độ dài cung
Một đường tròn có bán kính $8$ cm. Tính độ dài cung ứng với góc ở tâm $\frac{3\pi}{4}$ rad.
- Góc đã được cho bằng radian, nên dùng trực tiếp công thức $s=r\theta$.
- $$s=8\cdot\frac{3\pi}{4}=6\pi\text{ cm}$$
Kết quả: Độ dài cung là $6\pi$ cm.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
- Lỗi: Dùng công thức $s=r\theta$ khi góc vẫn đang tính bằng độ. Hãy đổi góc sang radian trước.
- Lỗi: Đổi từ radian sang độ nhưng lại nhân với $\frac{\pi}{180}$. Nhớ: độ sang radian nhân $\frac{\pi}{180}$; radian sang độ nhân $\frac{180}{\pi}$.
- Mẹo nhớ: Nửa vòng tròn là $180^{\circ}=\pi$ rad; một vòng tròn là $360^{\circ}=2\pi$ rad.
Tự kiểm tra nhanh
- Đổi $120^{\circ}$ sang radian.
- Đổi $\frac{2\pi}{3}$ rad sang độ.
- Đường tròn bán kính $6$ cm có góc ở tâm $\frac{\pi}{2}$ rad. Độ dài cung là bao nhiêu?
Đáp án — xem sau khi tự làm:
- $\frac{2\pi}{3}$ rad.
- $120^{\circ}$.
- $3\pi$ cm.