Tính chất của hàm sin và cos

Khám phá: Một vòng quay, hai tọa độ

Minh xoay một điểm trên đường tròn lượng giác để tạo các góc khác nhau. Với mỗi góc, hoành độ của điểm liên hệ với giá trị cos, còn tung độ liên hệ với giá trị sin. Điểm quay hết một vòng rồi trở lại vị trí ban đầu: các giá trị sin và cos cũng lặp lại.

Mô phỏng: Đường tròn lượng giác & đồ thị sin

Hãy kéo điểm quanh đường tròn, quan sát hai tọa độ thay đổi; thử quay thêm một vòng để nhận ra lúc nào các giá trị lặp lại.

Kiến thức trọng tâm

Xét hai hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$, trong đó $x$ được tính bằng radian.

Tập xác định: Cả hai hàm số đều xác định với mọi số thực, nên tập xác định là $\mathbb{R}$.
Tập giá trị: Tung độ và hoành độ của điểm trên đường tròn đơn vị luôn nằm trong đoạn từ $-1$ đến $1$. Vì vậy, tập giá trị của mỗi hàm số là $[-1;1]$.
Tính chẵn lẻ: $\sin(-x)=-\sin x$, nên hàm số sin là hàm số lẻ. $\cos(-x)=\cos x$, nên hàm số cos là hàm số chẵn. Trên đồ thị, điều này tương ứng với đồ thị sin đối xứng qua gốc tọa độ và đồ thị cos đối xứng qua trục tung.
Chu kì: Sau mỗi vòng quay có số đo $2\pi$, các giá trị lặp lại: $\sin(x+2\pi)=\sin x$ và $\cos(x+2\pi)=\cos x$. Cả hai hàm số đều có chu kì dương nhỏ nhất là $2\pi$.

Vì sao có tính chẵn lẻ? Trên đường tròn lượng giác, hai góc $x$ và $-x$ cho hai điểm đối xứng qua trục hoành. Hoành độ giữ nguyên nên cos không đổi; tung độ đổi dấu nên sin đổi dấu.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Điền các tính chất cơ bản

Nêu tập xác định, tập giá trị và chu kì dương nhỏ nhất của $y=\sin x$ và $y=\cos x$.

Cả hai biểu thức đều có nghĩa với mọi $x\in\mathbb{R}$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$.
Trên đường tròn đơn vị, hoành độ và tung độ nhận mọi giá trị từ $-1$ đến $1$. Tập giá trị của mỗi hàm số là $[-1;1]$.
Một vòng quay ứng với góc $2\pi$, nên chu kì dương nhỏ nhất của mỗi hàm số là $2\pi$.

Ví dụ 2: Nhận biết tính chẵn lẻ

Xét hai hàm số $f(x)=\sin x$ và $g(x)=\cos x$.

Thay $x$ bằng $-x$: $f(-x)=\sin(-x)=-\sin x=-f(x)$. Vậy $f$ là hàm số lẻ.
Ta có $g(-x)=\cos(-x)=\cos x=g(x)$. Vậy $g$ là hàm số chẵn.

Ví dụ 3: Tính giá trị với góc âm và góc lệch một vòng

Tính $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ và $\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)$.

Cos là hàm chẵn nên $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.
Vì $\frac{11\pi}{6}=2\pi-\frac{\pi}{6}$, dùng tính chu kì ta có $\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.
Sin là hàm lẻ nên $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.

Lỗi hay gặp và mẹo nhớ

Lỗi: Nhầm tính chẵn lẻ của sin và cos. Mẹo: Sin đổi dấu khi đổi dấu góc; cos giữ nguyên.
Lỗi: Cho rằng chu kì là $\pi$. Thực tế, $\pi$ không phải chu kì của sin hay cos vì nói chung $\sin(x+\pi)\ne\sin x$ và $\cos(x+\pi)\ne\cos x$. Chu kì dương nhỏ nhất của cả hai là $2\pi$.
Mẹo: Nhớ tọa độ trên đường tròn đơn vị: cos là hoành độ, sin là tung độ; cả hai luôn nằm trong $[-1;1]$.

Tự kiểm tra nhanh

Tập giá trị của $y=\cos x$ là gì?
Hàm số $y=\sin x$ chẵn hay lẻ?
Chu kì dương nhỏ nhất của $y=\cos x$ là bao nhiêu?

Đáp án — chỉ xem sau khi tự làm

Dừng lại ở đây nếu em chưa trả lời các câu hỏi.

$[-1;1]$.
Hàm số lẻ, vì $\sin(-x)=-\sin x$.
$2\pi$.