Nhị thức Newton

Khám phá: Ghép các lựa chọn để tạo số hạng

Mai nhân $\left(x+1\right)^4$ bằng cách viết thành bốn thừa số giống nhau. Mỗi số hạng sau khi nhân được tạo ra bằng cách chọn $x$ hoặc $1$ từ mỗi thừa số. Chẳng hạn, để có số hạng chứa $x^2$, Mai cần chọn $x$ ở đúng hai trong bốn vị trí. Có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Số cách chọn chính là hệ số của $x^2$. Cách nhìn này sẽ giúp ta hiểu vì sao các hệ số trong khai triển lại là các số tổ hợp.

Kiến thức trọng tâm

Với số nguyên không âm $n$, khai triển nhị thức Newton là

$$\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$

Trong đó, $\binom{n}{k}$ là số cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử. Khi nhân $n$ thừa số $\left(a+b\right)$, để tạo ra số hạng có $b^k$, ta chọn $b$ từ đúng $k$ thừa số; các thừa số còn lại đóng góp $a$. Vì thế hệ số của số hạng đó là $\binom{n}{k}$.

Số hạng tổng quát, ứng với chỉ số $k$, là

$$T_{k+1}=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k,\qquad k=0,1,\ldots,n.$$

Chỉ số bắt đầu từ $k=0$, nên số hạng tổng quát là $T_{k+1}$, không phải $T_k$. Nếu $b$ chứa dấu âm, dấu của mỗi số hạng cũng thay đổi theo lũy thừa của phần đó.

Mô phỏng: Hệ số của nhị thức bậc bốn

Quan sát các cột hệ số của $\left(1+x\right)^4$. Hãy so sánh độ cao của các cột đối xứng và liên hệ từng cột với số cách chọn.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Khai triển một lũy thừa bậc nhỏ

Khai triển $\left(x+2\right)^3$.

Dùng các hệ số nhị thức ở hàng bậc $3$: $1, 3, 3, 1$.
Viết các lũy thừa của hai biểu thức, số mũ của $x$ giảm dần còn số mũ của $2$ tăng dần:
$$\left(x+2\right)^3=x^3+3x^2\cdot 2+3x\cdot 2^2+2^3.$$
Thu gọn:
$$\left(x+2\right)^3=x^3+6x^2+12x+8.$$

Vì sao hệ số ở giữa là $3$? Để có số hạng chứa $x^2$, ta chọn $2$ ở một trong ba thừa số. Có $\binom{3}{1}=3$ cách.

Ví dụ 2: Khai triển có dấu âm

Khai triển $\left(2x-y\right)^3$.

Xem $a=2x$, $b=-y$ và dùng các hệ số $1,3,3,1$.
Thay vào khai triển:
$$\left(2x-y\right)^3=(2x)^3+3(2x)^2(-y)+3(2x)(-y)^2+(-y)^3.$$
Tính từng số hạng:
$$\left(2x-y\right)^3=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3.$$

Hãy chú ý dấu: các số hạng có lũy thừa lẻ của $-y$ mang dấu âm.

Ví dụ 3: Tìm hệ số của một lũy thừa

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $\left(2x+1\right)^5$.

Số hạng tổng quát là
$$T_{k+1}=\binom{5}{k}(2x)^{5-k}.$$
Muốn có $x^3$, cần $5-k=3$, nên $k=2$.
Thay $k=2$:
$$T_3=\binom{5}{2}(2x)^3=10\cdot 8x^3=80x^3.$$

Vậy hệ số cần tìm là $80$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

Nhầm vị trí số hạng: khi $k=0$ là số hạng đầu tiên $T_1$. Vì vậy số hạng ứng với $k$ là $T_{k+1}$.
Quên lũy thừa của hệ số: với $a=2x$, biểu thức $a^3$ là $(2x)^3=8x^3$, không chỉ là $2x^3$.
Bỏ sót dấu âm: hãy giữ nguyên $b=-y$ trong công thức rồi mới tính từng lũy thừa.
Mẹo nhớ: số mũ của biểu thức thứ nhất giảm dần từ $n$ xuống $0$; số mũ của biểu thức thứ hai tăng dần từ $0$ lên $n$. Các hệ số là $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$.

Tự kiểm tra nhanh

Khai triển $\left(x+1\right)^3$.
Trong khai triển $\left(a+b\right)^5$, số hạng ứng với $k=2$ là số hạng thứ mấy?
Tìm hệ số của $x^2$ trong khai triển $\left(x+2\right)^4$.

Đáp án — xem sau khi đã tự làm

$\left(x+1\right)^3=x^3+3x^2+3x+1$.
Đó là số hạng thứ $3$, vì số hạng ứng với $k$ là $T_{k+1}$.
Số hạng chứa $x^2$ là $\binom{4}{2}x^2\cdot 2^2=24x^2$. Hệ số cần tìm là $24$.