Quy tắc cộng và quy tắc nhân
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh nhận biết được khi nào dùng quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân.
- Học sinh tính được số cách thực hiện một quy trình gồm nhiều công đoạn.
- Học sinh giải được bài toán đếm cơ bản bằng cách phối hợp hai quy tắc.
Khám phá
Mai chuẩn bị mua một món uống ở quầy trường. Bạn có thể chọn một trong $4$ loại trà thảo mộc hoặc một trong $3$ loại trà trái cây. Mai chỉ chọn đúng một loại. Có bao nhiêu lựa chọn?
Vì hai nhóm lựa chọn không trùng nhau, ta cộng số loại: $4+3=7$. Còn nếu Mai chọn một chiếc áo rồi chọn thêm một chiếc quần, đó là hai công đoạn nối tiếp; khi ấy ta cần nhân số lựa chọn ở mỗi công đoạn.
Kiến thức trọng tâm
Quy tắc cộng: Nếu một công việc được thực hiện bằng một trong các phương án loại trừ nhau, và phương án thứ nhất có $m$ cách, phương án thứ hai có $n$ cách, thì công việc có $m+n$ cách.
Vì sao cộng? Mỗi cách thuộc đúng một phương án, nên ta ghép các nhóm cách rời nhau lại.
Quy tắc nhân: Nếu một công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn thứ nhất có $m$ cách và với mỗi cách đó công đoạn thứ hai có $n$ cách, thì công việc có $m\cdot n$ cách.
Vì sao nhân? Mỗi lựa chọn ở công đoạn đầu có thể ghép với các lựa chọn ở công đoạn sau. Với nhiều công đoạn, tiếp tục nhân số cách của từng công đoạn.
Kết hợp hai quy tắc: Chia công việc thành các phương án không trùng nhau; trong mỗi phương án, nhân số cách của các công đoạn. Cuối cùng cộng số cách của các phương án.
Thử thay đổi số lựa chọn ở từng phần ăn trong mô phỏng, rồi quan sát cách nhân số lựa chọn theo công đoạn và cộng số cách giữa các trường hợp.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Chọn một món uống
Một quầy có $5$ loại nước ép và $4$ loại sữa hạt. Bình chọn đúng một món. Hỏi Bình có bao nhiêu lựa chọn?
- Chọn nước ép có $5$ cách; chọn sữa hạt có $4$ cách.
- Hai phương án loại trừ nhau vì Bình chỉ chọn một món và mỗi món thuộc đúng một nhóm.
- Áp dụng quy tắc cộng: $5+4=9$.
Đáp số: $9$ lựa chọn.
Ví dụ 2: Ghép trang phục
Lan có $3$ chiếc áo và $4$ chiếc váy. Mỗi bộ gồm một áo và một váy. Hỏi Lan ghép được bao nhiêu bộ?
- Chọn áo có $3$ cách.
- Với mỗi chiếc áo, chọn váy có $4$ cách.
- Hai công đoạn nối tiếp, nên số bộ là $3\cdot 4=12$.
Đáp số: $12$ bộ.
Ví dụ 3: Chọn hoạt động cho ngày hội
Một học sinh chọn đúng một trong hai phương án: tham gia hoạt động nghệ thuật gồm chọn một trong $3$ lớp trải nghiệm rồi chọn một trong $2$ khung giờ; hoặc tham gia hoạt động khoa học gồm chọn một trong $2$ lớp trải nghiệm rồi chọn một trong $3$ khung giờ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
- Với phương án nghệ thuật, số cách là $3\cdot 2=6$.
- Với phương án khoa học, số cách là $2\cdot 3=6$.
- Hai phương án không thể đồng thời được chọn, nên cộng số cách: $6+6=12$.
Đáp số: $12$ cách.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
- Lỗi: Cộng số lựa chọn dù công việc gồm các công đoạn phải làm lần lượt. Mẹo: Hỏi “chọn một trong các phương án” hay “làm hết các công đoạn”. Chọn một phương án thì thường cộng; làm qua các công đoạn thì thường nhân.
- Lỗi: Cộng các trường hợp có thể bị trùng. Quy tắc cộng trực tiếp cần các phương án loại trừ nhau.
- Mẹo: Vẽ sơ đồ nhánh hoặc lập bảng nhỏ để thấy rõ từng phương án và các công đoạn bên trong.
- Mẹo nhớ: “Hoặc” gợi ý cộng; “và tiếp theo” gợi ý nhân. Hãy kiểm tra ý nghĩa của bài toán trước khi tính.
Tự kiểm tra nhanh
- Một tiệm có $6$ loại bánh mặn và $5$ loại bánh ngọt. Chọn đúng một chiếc bánh: có bao nhiêu cách?
- Có $4$ kiểu thiệp và $3$ màu phong bì. Chọn một kiểu thiệp rồi một màu phong bì: có bao nhiêu cách?
- Một chuyến tham quan có thể chọn tuyến A: $2$ điểm dừng và $3$ giờ khởi hành; hoặc tuyến B: $3$ điểm dừng và $2$ giờ khởi hành. Chọn một tuyến, một điểm dừng và một giờ: có bao nhiêu cách?
Đáp án — xem sau khi đã tự làm: Câu $1$: $6+5=11$ cách. Câu $2$: $4\cdot 3=12$ cách. Câu $3$: $2\cdot 3+3\cdot 2=12$ cách.