Số trung bình của mẫu ghép nhóm

Khám phá: Thời gian tự học mỗi tối

Lớp của Mai ghi lại thời gian tự học mỗi tối, tính bằng phút. Bảng tổng hợp cho biết có bao nhiêu bạn tự học trong từng khoảng thời gian, nhưng không ghi riêng số phút của từng bạn. Vậy làm sao ước lượng thời gian tự học trung bình?

Ta chọn một giá trị đại diện cho mỗi khoảng, rồi tính trung bình có tính đến số bạn trong khoảng đó.

Kiến thức trọng tâm

Quan sát số trung bình ước lượng trong mô phỏng; tập trung vào cách các nhóm và tần số góp phần tạo nên giá trị trung bình.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Tìm trung điểm của các nhóm

Một bảng thời gian có ba nhóm: $[0;10)$, $[10;20)$ và $[20;30)$. Tìm trung điểm mỗi nhóm.

1. Nhóm $[0;10)$ có trung điểm $\frac{0+10}{2}=5$.
2. Nhóm $[10;20)$ có trung điểm $\frac{10+20}{2}=15$.
3. Nhóm $[20;30)$ có trung điểm $\frac{20+30}{2}=25$.

Vậy các giá trị đại diện lần lượt là $5$, $15$ và $25$ phút. Ta lấy điểm chính giữa mỗi khoảng vì đó là lựa chọn đại diện cân bằng cho các giá trị trong khoảng.

Ví dụ 2: Ước lượng thời gian tự học trung bình

Trong một nhóm học sinh, có $3$ bạn tự học từ $0$ đến dưới $10$ phút, $5$ bạn từ $10$ đến dưới $20$ phút và $2$ bạn từ $20$ đến dưới $30$ phút mỗi tối. Ước lượng số phút tự học trung bình.

1. Tìm trung điểm các nhóm: $5$, $15$ và $25$ phút.
2. Tính tổng số học sinh: $3+5+2=10$.
3. Tính trung bình có trọng số theo tần số:

$$\overline{x}\approx\frac{3\cdot5+5\cdot15+2\cdot25}{10}=\frac{140}{10}=14$$

Vậy thời gian tự học trung bình được ước lượng là $14$ phút mỗi tối. Đây là giá trị xấp xỉ, không nhất thiết bằng trung bình chính xác từ thời gian của từng bạn.

Ví dụ 3: Tính trung bình từ bảng ghép nhóm

Bảng dưới đây ghi quãng đường đi bộ đến trường của một nhóm học sinh.

1. Tổng số học sinh là $4+6+2=12$.
2. Tính tổng các giá trị đại diện có tính đến tần số: $4\cdot2+6\cdot4+2\cdot6=44$.
3. Chia tổng vừa tính cho tổng tần số:

$$\overline{x}\approx\frac{44}{12}=\frac{11}{3}\approx3{,}67$$

Quãng đường đi bộ trung bình được ước lượng khoảng $3{,}67$ km. Ta dùng trung điểm của từng nhóm nên kết quả là xấp xỉ.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Cộng các trung điểm rồi chia cho số nhóm. Cách đó bỏ qua việc các nhóm có tần số khác nhau.
• Lỗi: Quên nhân trung điểm với tần số. Hãy nhớ mỗi giá trị đại diện được tính lặp lại theo số quan sát trong nhóm.
• Lỗi: Gọi kết quả là số trung bình chính xác. Vì dữ liệu đã được ghép nhóm, ta chỉ ước lượng được trung bình.
• Mẹo nhớ: Tìm trung điểm, nhân với tần số, cộng lại, rồi chia cho tổng tần số.

Tự kiểm tra nhanh

1. Tìm trung điểm của nhóm $[12;18)$.
2. Một mẫu có $2$ số liệu thuộc nhóm $[0;10)$ và $4$ số liệu thuộc nhóm $[10;20)$. Tính số trung bình ước lượng.
3. Vì sao số trung bình tính từ mẫu ghép nhóm thường chỉ là giá trị ước lượng?