Tổ hợp tuyến tính của các vectơ

Khám phá: Ghép các hướng đi

Trên bản đồ khu phố, Mai đi từ điểm xuất phát theo một hướng, rồi tiếp tục theo một hướng khác. Nếu biết hai vectơ chỉ hướng ấy, ta có thể mô tả một hành trình mới bằng cách đi theo một hướng nhiều lần, đi ngược hướng kia, rồi cộng các chặng lại. Chẳng hạn, hành trình gồm hai lần vectơ thứ nhất và một lần vectơ thứ hai được viết là $2\vec{u}+\vec{v}$.

Vậy một vectơ có thể được tạo nên từ những vectơ khác bằng cách nào? Ta cùng tìm hiểu tổ hợp tuyến tính.

Kiến thức trọng tâm

Trong mô phỏng, kéo $A$ và $B$ để quan sát điểm $P$ biểu diễn $2\vec{u}+\vec{v}$; so sánh các đoạn mang nhãn để thấy phép nhân với số và phép cộng vectơ.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Nhận biết một tổ hợp tuyến tính

Cho các vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$. Xét biểu thức $\vec{x}=3\vec{a}-2\vec{b}+0\vec{c}$. Biểu thức này có phải tổ hợp tuyến tính của các vectơ đã cho không?

Bước 1. So sánh với dạng $\lambda_1\vec{a}+\lambda_2\vec{b}+\lambda_3\vec{c}$.

Bước 2. Ta có $\vec{x}=3\vec{a}+(-2)\vec{b}+0\vec{c}$; các hệ số lần lượt là $3$, $-2$ và $0$, đều là số thực.

Kết luận. Đây là một tổ hợp tuyến tính. Hệ số $0$ cho biết vectơ $\vec{c}$ không đóng góp vào kết quả.

Ví dụ 2: Phân tích vectơ đến trung điểm

Cho tam giác $OAB$, $M$ là trung điểm của $AB$. Hãy biểu diễn $\vec{OM}$ theo $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$.

Bước 1. Đi theo đường từ $O$ đến $A$, rồi từ $A$ đến $M$: $\vec{OM}=\vec{OA}+\vec{AM}$.

Bước 2. Vì $M$ là trung điểm của $AB$, nên $\vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{AB}$.

Bước 3. Theo quy tắc ba điểm, $\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$. Thay vào biểu thức trên:

$$\vec{OM}=\vec{OA}+\frac{1}{2}(\vec{OB}-\vec{OA})=\frac{1}{2}\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{OB}.$$

Kết luận. Vectơ $\vec{OM}$ là tổ hợp tuyến tính của $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$.

Ví dụ 3: Dùng tổ hợp tuyến tính để chứng minh

Trong tam giác $ABC$, $G$ là trọng tâm. Chứng minh rằng $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$.

Bước 1. Chọn điểm $O$ làm gốc. Theo công thức trọng tâm, $\vec{OG}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$.

Bước 2. Viết từng vectơ cần xét theo gốc $O$: $\vec{GA}=\vec{OA}-\vec{OG}$, $\vec{GB}=\vec{OB}-\vec{OG}$ và $\vec{GC}=\vec{OC}-\vec{OG}$.

Bước 3. Cộng ba đẳng thức:

$$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}-3\vec{OG}.$$

Bước 4. Từ công thức trọng tâm, $3\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$. Vì vậy, $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$.

Ý nghĩa. Đưa các vectơ về cùng một gốc giúp những thành phần giống nhau triệt tiêu rõ ràng.

Lỗi hay gặp và mẹo nhớ

• Quên hệ số âm: $-2\vec{a}$ không phải là $2\vec{a}$; dấu âm đổi hướng vectơ.
• Đảo thứ tự khi viết vectơ: $\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$, không phải $\vec{OA}-\vec{OB}$.
• Nhầm trung điểm: nếu $M$ là trung điểm $AB$ thì $\vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{AB}$, còn $\vec{MA}=-\frac{1}{2}\vec{AB}$.
• Mẹo nhớ: muốn chứng minh một đẳng thức vectơ, hãy chọn cùng một gốc, phân tích từng vectơ rồi gom các thành phần giống nhau.

Tự kiểm tra nhanh

1. Biểu thức $-\vec{a}+4\vec{b}$ có phải tổ hợp tuyến tính của $\vec{a},\vec{b}$ không?
2. Cho $M$ là trung điểm của $AB$. Hãy biểu diễn $\vec{AM}$ theo $\vec{AB}$.
3. Cho $\vec{OP}=2\vec{u}-\vec{v}$. Hệ số của $\vec{v}$ là bao nhiêu?