Vectơ và các phép toán trong không gian

Khám phá: Đường bay của chiếc flycam

Trong không gian sân trường, flycam bay từ điểm A đến điểm B, rồi từ B đến C. Ta có thể mô tả chuyển động bằng hướng bay và độ dài quãng đường. Nếu muốn biết kết quả của cả hành trình từ A đến C, ta cần gộp hai lần di chuyển.

Một mũi tên như vậy gợi ý về vectơ: thông tin quan trọng không chỉ là đi bao xa, mà còn là đi theo hướng nào.

Kiến thức trọng tâm

Vectơ trong không gian

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) có điểm đầu A, điểm cuối B; độ dài của vectơ là độ dài đoạn thẳng AB. Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và có cùng độ dài, dù điểm đặt có thể khác nhau.

Vectơ-không \(\vec{0}\) có độ dài bằng \(0\), nên không có hướng xác định. Vectơ đối của \(\vec{a}\), kí hiệu \(-\vec{a}\), có cùng độ dài nhưng ngược hướng với \(\vec{a}\). Vì vậy \(\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}\).

Cộng và trừ vectơ

Quy tắc nối tiếp: đặt điểm đầu của vectơ thứ hai tại điểm cuối của vectơ thứ nhất. Khi đó vectơ tổng đi từ điểm đầu ban đầu đến điểm cuối sau cùng. Chẳng hạn, nếu điểm cuối của \(\overrightarrow{AB}\) là điểm đầu của \(\overrightarrow{BC}\), thì \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

Quy tắc hình bình hành: đặt hai vectơ cùng điểm đầu. Đường chéo xuất phát từ điểm đầu chung biểu diễn tổng của chúng.

Phép trừ được đưa về phép cộng với vectơ đối: \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\). Vì thế, để biểu diễn hiệu, ta cộng vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai.

Nhân vectơ với một số

Với số thực \(k\), vectơ \(k\vec{a}\) cùng hướng với \(\vec{a}\) nếu \(k>0\), ngược hướng nếu \(k<0\); độ dài của nó bằng \(|k|\) lần độ dài của \(\vec{a}\). Nếu \(k=0\) hoặc \(\vec{a}=\vec{0}\), kết quả là vectơ-không.

Các quy tắc này không phụ thuộc vào hình vẽ nằm trên mặt phẳng hay trong không gian: hướng và độ dài vẫn quyết định vectơ.

Mô phỏng: Cộng hai vectơ bằng hình bình hành

Mô phỏng: Cộng vectơ bằng hình bình hành

Kéo hai điểm A và B để đổi hướng, độ dài của hai vectơ xuất phát từ O; quan sát điểm C và đường chéo OC để thấy vectơ tổng.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Đi liền hai chặng

Một robot đi từ A đến B, rồi từ B đến C. Biểu diễn độ dời của robot sau cả hai chặng.

Chặng đầu là vectơ \(\overrightarrow{AB}\), chặng sau là vectơ \(\overrightarrow{BC}\).
Nối tiếp hai vectơ theo thứ tự hành trình. Vectơ đi từ điểm đầu A đến điểm cuối C là vectơ tổng.
Vậy độ dời sau cả hai chặng là \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

Vì sao? Điểm B là vị trí trung gian, nên khi tính độ dời toàn hành trình, ta chỉ cần nối vị trí xuất phát với vị trí kết thúc.

Ví dụ 2: Tìm hiệu bằng vectơ đối

Cho hình bình hành ABCD. Biểu diễn \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\).

Đổi phép trừ thành phép cộng với vectơ đối: \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AD})\).
Trong hình bình hành, \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\), nên \(-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}\).
Nối tiếp \(\overrightarrow{AB}\) với \(\overrightarrow{CB}\) chưa đúng quy tắc vì điểm cuối của vectơ thứ nhất là B, còn điểm đầu vectơ thứ hai là C. Ta dùng tính chất vectơ bằng nhau: \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}\) không đúng nói chung; thay vào đó, đặt hai vectơ cần cộng cùng điểm đầu hoặc chọn cách xác định trực tiếp hiệu.
Vì \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=(\vec{B}-\vec{A})-(\vec{D}-\vec{A})=\vec{B}-\vec{D}\), kết quả là \(\overrightarrow{DB}\).

Kiểm tra bằng hình bình hành: \(\overrightarrow{DB}\) là đường chéo nối D đến B. Cách viết theo các vectơ vị trí giúp tránh nhầm hướng khi trừ.

Ví dụ 3: Nhân với số âm

Cho \(\overrightarrow{MN}\) dài \(3\) cm. Mô tả vectơ \(-2\overrightarrow{MN}\).

Hệ số \(-2\) âm, nên vectơ kết quả ngược hướng với \(\overrightarrow{MN}\).
Độ dài vectơ kết quả bằng \(|-2|\cdot 3=6\) cm.
Vậy \(-2\overrightarrow{MN}\) dài \(6\) cm và hướng từ N về phía M.

Hệ số âm làm đổi hướng; trị tuyệt đối của hệ số cho biết độ dài thay đổi bao nhiêu lần.

Lỗi hay gặp và mẹo nhớ

Nhầm vectơ đối với vectơ bằng nhau: vectơ bằng nhau cùng hướng, còn vectơ đối ngược hướng và cùng độ dài.
Cộng sai thứ tự điểm: với quy tắc nối tiếp, điểm cuối của vectơ trước phải trùng điểm đầu của vectơ sau.
Trừ mà quên đổi hướng: hãy viết \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\), rồi mới vẽ.
Quên xét dấu khi nhân: số dương giữ hướng, số âm đảo hướng; độ dài được nhân với giá trị tuyệt đối của hệ số.

Mẹo nhớ: Cộng là nối đường đi; trừ là cộng với vectơ quay ngược; nhân số là đổi độ dài và có thể đổi hướng.

Tự kiểm tra nhanh

Nếu \(\vec{u}\) dài \(4\) cm, vectơ \(-\vec{u}\) dài bao nhiêu và hướng thế nào?
Với ba điểm A, B, C, viết tổng \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) dưới dạng một vectơ.
Trong hình bình hành ABCD, hãy biểu diễn \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) bằng vectơ đường chéo.

Đáp án

Dài \(4\) cm và ngược hướng với \(\vec{u}\).
\(\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{AC}\).