Bất đẳng thức tam giác

Khám phá: Ba que tre có khép thành khung?

Mai có ba que tre dài $5$ cm, $7$ cm và $13$ cm. Bạn thử ghép chúng thành một khung tam giác. Hai que ngắn hơn có tổng độ dài là $5+7=12$ cm, ngắn hơn que còn lại. Vì vậy, hai đầu que không thể gặp nhau để khép kín khung.

Nếu tổng độ dài hai que ngắn hơn lớn hơn que dài nhất thì có khép được khung không? Ta cùng tìm quy tắc.

Kiến thức trọng tâm

Bất đẳng thức tam giác: Tổng độ dài của hai cạnh bất kỳ của một tam giác phải lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Nếu ba cạnh có độ dài $a$, $b$, $c$ thì cần có đồng thời:

$$a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a.$$

Nếu đã biết cạnh dài nhất, chỉ cần kiểm tra tổng hai cạnh còn lại có lớn hơn cạnh dài nhất hay không. Nếu tổng đó bằng hoặc nhỏ hơn cạnh dài nhất thì không tạo thành tam giác.

Nếu biết hai cạnh có độ dài $a$ và $b$, gọi độ dài cạnh thứ ba là $x$. Từ bất đẳng thức tam giác, ta có:

Tổng hai cạnh đã biết lớn hơn cạnh thứ ba: $a+b>x$, nên $x
Cạnh $a$ nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại: $aa-b$.
Cạnh $b$ nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại: $b b-a$.

Hai điều kiện $x>a-b$ và $x>b-a$ gộp lại thành $x>|a-b|$. Vậy cạnh thứ ba phải thỏa mãn:

$$|a-b|

Dấu bất đẳng thức là dấu nghiêm ngặt. Nếu xảy ra dấu bằng, ba đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng, không khép thành một tam giác.

Mô phỏng: Kéo đỉnh, kiểm tra bất đẳng thức

Hãy kéo đỉnh $C$ để thay đổi hình; quan sát độ dài các cạnh và độ dư nhỏ nhất. Khi độ dư bằng $0$, ba điểm thẳng hàng, hình không còn là một tam giác.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Kiểm tra ba độ dài

Ba đoạn thẳng dài $3$ cm, $4$ cm và $6$ cm có thể là ba cạnh của một tam giác không?

Bước 1: Cạnh dài nhất là $6$ cm.

Bước 2: Cộng hai cạnh còn lại: $3+4=7$ cm.

Bước 3: Vì $7>6$, ba độ dài lập thành ba cạnh của một tam giác.

Ví dụ 2: Nhận ra trường hợp không tạo thành tam giác

Ba đoạn thẳng dài $5$ cm, $7$ cm và $13$ cm có thể là ba cạnh của một tam giác không?

Bước 1: Cạnh dài nhất là $13$ cm.

Bước 2: Tổng hai cạnh còn lại là $5+7=12$ cm.

Bước 3: Vì $12<13$, hai đoạn ngắn hơn không đủ dài để khép kín với đoạn dài nhất. Vậy ba độ dài này không lập thành ba cạnh của một tam giác.

Ví dụ 3: Tìm độ dài cạnh thứ ba

Một tam giác có hai cạnh dài $6$ cm và $10$ cm. Tìm khoảng độ dài của cạnh thứ ba $x$.

Bước 1: Cạnh thứ ba phải nhỏ hơn tổng hai cạnh đã biết: $x<6+10$, tức là $x<16$.

Bước 2: Từ điều kiện $6<10+x$, suy ra $x>6-10=-4$. Từ điều kiện $10<6+x$, suy ra $x>10-6=4$. Kết hợp hai điều kiện này, ta được $x>4$.

Bước 3: Gộp hai giới hạn: $4

Vậy cạnh thứ ba phải dài hơn $4$ cm và ngắn hơn $16$ cm. Nếu độ dài tính bằng số nguyên xăng-ti-mét thì $x$ có thể là $5$ cm, $6$ cm, đến $15$ cm.

Lỗi hay gặp và mẹo nhớ

Lỗi: Chỉ kiểm tra tổng hai cạnh có lớn hơn cạnh còn lại hay không mà chưa chọn cạnh dài nhất. Mẹo: Sắp xếp ba độ dài, rồi so sánh tổng hai cạnh ngắn hơn với cạnh dài nhất.
Lỗi: Dùng dấu bằng trong điều kiện tam giác. Mẹo: Phải dùng dấu $>$; dấu bằng chỉ tạo thành một đường thẳng.
Mẹo tìm cạnh thứ ba: Lấy hiệu hai cạnh đã biết làm giới hạn dưới và tổng hai cạnh ấy làm giới hạn trên: $|a-b|

Tự kiểm tra nhanh

Ba đoạn thẳng dài $4$ cm, $6$ cm và $9$ cm có thể là ba cạnh của một tam giác không?
Hai cạnh của một tam giác dài $7$ cm và $12$ cm. Cạnh thứ ba $x$ phải nằm trong khoảng nào?
Ba đoạn thẳng dài $5$ cm, $8$ cm và $13$ cm có thể là ba cạnh của một tam giác không? Vì sao?

Đáp án tự kiểm tra — hãy làm trước khi đọc

Có, vì $4+6=10>9$.
$|12-7|
Không, vì $5+8=13$. Tổng hai cạnh ngắn hơn chỉ bằng cạnh dài nhất, nên ba đoạn nằm thẳng hàng thay vì tạo thành tam giác.