Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác

Khám phá: Ba thanh gỗ có khép thành khung?

Linh muốn ghép ba thanh gỗ dài $4\,\text{cm}$, $7\,\text{cm}$ và $12\,\text{cm}$ thành một khung tam giác. Hai thanh ngắn hơn có tổng độ dài là $4+7=11\,\text{cm}$, ngắn hơn thanh dài nhất. Vì vậy, chúng không chạm được hai đầu thanh dài nhất để khép kín thành tam giác.

Nếu cả ba thanh đều dài hơn $0$ và thanh dài nhất ngắn hơn tổng hai thanh còn lại thì ghép được một tam giác. Ta sẽ tìm hiểu vì sao điều kiện này giúp kiểm tra nhanh.

Kiến thức trọng tâm

Kéo đỉnh $C$ để làm thay đổi hình tam giác. Quan sát độ dài các cạnh, góc đối diện và độ dư của các bất đẳng thức; khi độ dư bằng $0$, ba điểm thẳng hàng nên không còn là một tam giác.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Kiểm tra ba độ dài

Ba đoạn dây dài $4\,\text{cm}$, $7\,\text{cm}$ và $12\,\text{cm}$ có tạo thành một tam giác không?

1. Cạnh dài nhất là $12\,\text{cm}$.
2. Tổng hai cạnh còn lại là $4+7=11\,\text{cm}$.
3. Vì $11<12$, tổng hai cạnh ngắn hơn không đủ dài để khép kín với cạnh dài nhất.

Kết luận: Ba đoạn dây không tạo thành một tam giác.

Ví dụ 2: So sánh các góc khi biết độ dài ba cạnh

Tam giác $KLM$ có $KL=6\,\text{cm}$, $LM=8\,\text{cm}$ và $MK=10\,\text{cm}$. Hãy sắp xếp các góc theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

1. Cạnh dài nhất là $MK=10\,\text{cm}$. Bộ ba cạnh tạo thành tam giác vì $6+8=14>10$.
2. Cạnh $MK$ đối diện với góc $\widehat{L}$, nên $\widehat{L}$ lớn nhất.
3. Cạnh ngắn nhất là $KL=6\,\text{cm}$. Cạnh này đối diện với góc $\widehat{M}$, nên $\widehat{M}$ nhỏ nhất.

Kết luận: $\widehat{M}<\widehat{K}<\widehat{L}$.

Ví dụ 3: Suy ra cạnh bằng nhau từ hai góc bằng nhau

Tam giác $PQR$ có $\widehat{P}=\widehat{R}$ và $PQ=7\,\text{cm}$. Biết thêm $\widehat{Q}>\widehat{P}$. So sánh các cạnh và tìm độ dài $QR$.

1. Hai góc $\widehat{P}$ và $\widehat{R}$ bằng nhau nên hai cạnh đối diện bằng nhau. Cạnh đối diện $\widehat{P}$ là $QR$; cạnh đối diện $\widehat{R}$ là $PQ$.
2. Vì $PQ=7\,\text{cm}$ nên $QR=7\,\text{cm}$.
3. Góc $\widehat{Q}$ lớn hơn $\widehat{P}$ nên cạnh đối diện $\widehat{Q}$ lớn hơn cạnh đối diện $\widehat{P}$. Do đó $PR>QR$.

Kết luận: $PQ=QR=7\,\text{cm}$ và $PR>PQ$.

Lỗi hay gặp và mẹo nhớ

• Lỗi: Nghĩ rằng tổng hai cạnh ngắn bằng cạnh dài nhất vẫn tạo thành tam giác. Thật ra, khi tổng bằng cạnh dài nhất, ba đoạn chỉ nằm thẳng hàng, không khép kín thành tam giác.
• Lỗi: So sánh cạnh với góc kề cạnh đó. Hãy tìm góc đối diện cạnh: cạnh $AB$ đối diện với góc $\widehat{C}$, không phải góc $\widehat{A}$ hay $\widehat{B}$.
• Mẹo: Kiểm tra ba cạnh bằng cách tìm cạnh dài nhất rồi so với tổng hai cạnh còn lại. Nhớ dùng dấu lớn hơn nghiêm ngặt.
• Mẹo: Cạnh dài hơn đi cùng góc đối diện lớn hơn. Hai cạnh bằng nhau đi cùng hai góc đối diện bằng nhau.

Tự kiểm tra nhanh

1. Ba đoạn dài $3\,\text{cm}$, $4\,\text{cm}$ và $7\,\text{cm}$ có tạo thành tam giác không? Vì sao?
2. Một tam giác có các cạnh dài $5\,\text{cm}$, $6\,\text{cm}$ và $8\,\text{cm}$. Hãy sắp xếp các góc theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
3. Trong một tam giác, nếu hai góc bằng nhau thì hai cạnh đối diện có quan hệ thế nào?