Điều kiện xác định của phân thức

Khám phá

Lan chia đều một lượng nước ép cho một số bạn. Nếu gọi số bạn là $n$, lượng nước mỗi bạn nhận được có thể biểu diễn bằng một phân thức có mẫu là $n$. Điều gì xảy ra nếu $n=0$? Phép chia không thực hiện được.

Với phân thức đại số, ta cũng cần để ý xem mẫu thức có thể bằng không hay không.

Kiến thức trọng tâm

Hãy kéo điểm $x$ trên trục số; chú ý giá trị nào làm mẫu $x-2$ bằng $0$ và bị loại.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Mẫu thức bậc nhất

Tìm điều kiện xác định của $\frac{3}{x-4}$.

1. Mẫu thức là $x-4$.
2. Cho mẫu thức bằng $0$: $x-4=0$, suy ra $x=4$.
3. Vậy phân thức xác định khi $x\ne 4$; phân thức không xác định tại $x=4$.

Ví dụ 2: Mẫu thức có thể phân tích thành nhân tử

Tìm điều kiện xác định của $\frac{5}{x^{2}-9}$.

1. Phân tích mẫu thức: $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$.
2. Mẫu thức bằng $0$ khi $x=3$ hoặc $x=-3$.
3. Vậy điều kiện xác định là $x\ne 3$ và $x\ne -3$.

Ví dụ 3: Biến đổi nhưng vẫn phải giữ điều kiện ban đầu

Tìm điều kiện xác định và rút gọn $\frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-6}$.

1. Xét mẫu thức ban đầu: $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$.
2. Mẫu bằng $0$ khi $x=-3$ hoặc $x=2$. Do đó, điều kiện xác định là $x\ne -3$ và $x\ne 2$.
3. Phân tích tử thức: $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$. Với các giá trị thỏa điều kiện xác định, ta rút gọn được $\frac{(x-2)(x+2)}{(x+3)(x-2)}=\frac{x+2}{x+3}$.
4. Dù đã rút gọn, vẫn giữ điều kiện ban đầu: $x\ne -3$ và $x\ne 2$. Giá trị $x=2$ không được thêm lại vì phân thức ban đầu không xác định tại đó.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Chỉ xét mẫu sau khi rút gọn. Hãy tìm điều kiện từ mẫu thức của phân thức ban đầu.
• Lỗi: Loại cả giá trị làm tử thức bằng $0$. Chỉ cần loại giá trị làm mẫu thức bằng $0$.
• Mẹo nhớ: “Mẫu khác $0$ thì phân thức có nghĩa.” Hãy phân tích mẫu thành nhân tử nếu điều đó giúp tìm nghiệm dễ hơn.

Tự kiểm tra nhanh

1. Tìm điều kiện xác định của $\frac{7}{x+5}$.
2. Những giá trị nào cần loại để phân thức $\frac{2}{x^{2}-16}$ xác định?
3. Rút gọn $\frac{x-1}{x^{2}-1}$. Điều kiện xác định của phân thức ban đầu là gì?