Nhận biết phân thức đại số

Khám phá

Lan thiết kế một bảng tên hình chữ nhật có diện tích $12$ cm$^2$. Nếu chiều rộng là $x$ cm thì chiều dài được tính bằng biểu thức $\frac{12}{x}$. Lan có thể chọn chiều rộng bằng $0$ cm không? Vì sao?

Em thử nghĩ xem phép chia có thực hiện được khi số chia bằng $0$ không. Từ đó, ta sẽ nhận ra giá trị nào của biến cần loại khi viết một phân thức đại số.

Hãy kéo điểm trên trục số, đặc biệt thử đặt $x=2$, rồi quan sát giá trị mẫu $x-2$ và vùng các giá trị được chấp nhận.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Mẫu thức bậc nhất

Tìm điều kiện xác định của $\frac{3x+1}{x-4}$.

1. Mẫu thức là $x-4$.
2. Để phân thức có nghĩa, cần $x-4 \ne 0$.
3. Giải điều kiện này, ta được $x \ne 4$.

Vậy điều kiện xác định là $x \ne 4$.

Ví dụ 2: Mẫu thức có thể phân tích thành nhân tử

Tìm điều kiện xác định của $\frac{2}{x^2-9}$.

1. Mẫu thức là $x^2-9$.
2. Phân tích: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.
3. Mẫu thức bằng $0$ khi $x=3$ hoặc $x=-3$. Vì vậy, cần loại hai giá trị này.

Vậy điều kiện xác định là $x \ne 3$ và $x \ne -3$.

Ví dụ 3: Mẫu thức luôn dương

Tìm điều kiện xác định của $\frac{x-2}{x^2+4}$ với $x$ là số thực.

1. Mẫu thức là $x^2+4$.
2. Vì $x^2 \ge 0$ với mọi $x$ nên $x^2+4 \ge 4 > 0$.
3. Do đó, mẫu thức không thể bằng $0$.

Vậy phân thức xác định với mọi số thực $x$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Chỉ nhìn tử thức để tìm điều kiện. Mẹo: Điều kiện xác định được quyết định bởi mẫu thức.
• Lỗi: Cho phép mẫu thức bằng $0$. Phép chia cho $0$ không thực hiện được.
• Mẹo nhớ: Tìm mẫu, cho mẫu bằng $0$, tìm nghiệm rồi loại các nghiệm ấy.
• Tử thức bằng $0$ không làm phân thức mất nghĩa; chỉ cần kiểm tra mẫu thức khác $0$.

Tự kiểm tra nhanh

1. Trong phân thức $\frac{5x}{x+2}$, tử thức và mẫu thức là gì?
2. Tìm điều kiện xác định của $\frac{x+1}{x-6}$.
3. Phân thức $\frac{4}{x^2+1}$ xác định với những giá trị thực nào của $x$?

Đáp án — hãy tự làm trước khi đọc

1. Tử thức là $5x$, mẫu thức là $x+2$.
2. $x \ne 6$.
3. Với mọi số thực $x$, vì $x^2+1 \ge 1 > 0$.