Tính chất cơ bản của phân thức
Sau bài này, em sẽ
- Tìm được phân thức bằng phân thức đã cho.
- Rút gọn được phân thức đại số đơn giản.
Khám phá
Lan pha nước si-rô theo công thức cứ $2$ thìa si-rô với $3$ cốc nước. Nếu Lan tăng gấp đôi cả hai lượng, tỉ lệ vẫn giữ nguyên: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$. Cách làm này gợi ý rằng ta có thể nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một số khác $0$ mà không đổi giá trị.
Với phân thức đại số, ta cũng có thể làm vậy với một nhân tử chung. Hãy xem việc khử nhân tử chung được thể hiện trên đồ thị như thế nào.
Kéo thanh trượt $t$ và quan sát hai đồ thị; chú ý phân thức ban đầu không xác định tại $t=3$.
Kiến thức trọng tâm
Phân thức đại số có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó $A$, $B$ là các đa thức và $B$ không phải đa thức $0$.
Tính chất cơ bản: Nếu $M$ là đa thức khác đa thức $0$, thì có thể nhân cả tử và mẫu với $M$:
$$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot M}{B\cdot M}$$
Nếu tử và mẫu có nhân tử chung $M$, ta có thể chia cả tử và mẫu cho $M$ để rút gọn. Trước khi rút gọn, hãy tìm điều kiện để mẫu ban đầu khác $0$. Những giá trị bị loại vẫn phải được giữ lại, kể cả khi mẫu sau rút gọn nhận được có thể xác định tại các giá trị ấy.
Nhớ: Chỉ khử được nhân tử chung, không khử từng hạng tử trong phép cộng hoặc phép trừ.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Tạo phân thức bằng phân thức đã cho
Viết một phân thức bằng $\frac{3x}{5y}$ bằng cách nhân cả tử và mẫu với $2$.
- Nhân tử và mẫu với cùng một số khác $0$: $\frac{3x}{5y}=\frac{3x\cdot 2}{5y\cdot 2}$.
- Thực hiện phép nhân: $\frac{3x}{5y}=\frac{6x}{10y}$.
Điều kiện xác định là $y\ne 0$. Hai phân thức có cùng giá trị với mọi giá trị thỏa mãn điều kiện này.
Ví dụ 2: Rút gọn bằng cách khử nhân tử chung
Rút gọn $\frac{6x^{2}}{9x}$.
- Mẫu ban đầu khác $0$ khi $9x\ne 0$, nên $x\ne 0$.
- Phân tích tử và mẫu: $\frac{6x^{2}}{9x}=\frac{3x\cdot 2x}{3x\cdot 3}$.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung $3x$: $\frac{6x^{2}}{9x}=\frac{2x}{3}$, với điều kiện ban đầu $x\ne 0$.
Ta khử được $3x$ vì đó là nhân tử của cả tử lẫn mẫu, không phải một hạng tử đứng trong phép cộng.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức rồi rút gọn
Rút gọn $\frac{x^{2}-16}{x^{2}+4x}$.
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử: $x^{2}-16=(x-4)(x+4)$ và $x^{2}+4x=x(x+4)$.
- Mẫu ban đầu khác $0$ khi $x\ne 0$ và $x\ne -4$.
- Khử nhân tử chung $x+4$: $\frac{x^{2}-16}{x^{2}+4x}=\frac{(x-4)(x+4)}{x(x+4)}=\frac{x-4}{x}$.
Kết quả rút gọn là $\frac{x-4}{x}$, nhưng vẫn giữ điều kiện $x\ne 0$ và $x\ne -4$ của phân thức ban đầu.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
- Lỗi: Khử một phần của tổng, chẳng hạn cho rằng $\frac{x+4}{x}=4$. Không được khử $x$ vì $x$ không là nhân tử chung của cả tử và mẫu.
- Lỗi: Quên điều kiện để mẫu ban đầu khác $0$. Hãy tìm điều kiện này trước khi rút gọn.
- Mẹo: Phân tích tử và mẫu thành tích trước; chỉ khử những nhân tử giống nhau xuất hiện ở cả tử và mẫu.
Tự kiểm tra nhanh
- Nhân cả tử và mẫu của $\frac{5a}{7b}$ với $3$. Viết phân thức nhận được.
- Rút gọn $\frac{x^{2}-25}{x+5}$ và nêu điều kiện xác định ban đầu.
Hãy tự làm hai câu hỏi rồi mới xem đáp án ở cuối bài.
Đáp án: Câu $1$: $\frac{15a}{21b}$, với $b\ne 0$. Câu $2$: $\frac{x^{2}-25}{x+5}=\frac{(x-5)(x+5)}{x+5}=x-5$, với điều kiện ban đầu $x\ne -5$.